Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
При записи этого выражения учтено, что изменение уровня во-
Ax
ды на Ax меняет положение центра тяжести воды на
2 '
а также
тот факт, что увеличение (уменьшение) объема воды приближает
112 (удаляет) центр тяжести воды к началу координат. В последнем выражении для х'ц т слагаемые, содержащиеся в круглых скобках, равны нулю: первое — так как оно является результатом условленного ранее выбора начала координат, а второе— в силу того, что
— = Sxn. 2
Как видим, Хц т > 0, что и доказывает сделанное выше утверждение.
4.17. sin а
Щ - ш2 Л
W1W2
. / — длина стержня.
2(Ш] + /л2) у /2 On1+W2)2
Указание. Стержень будет занимать равновесное положение в чаше тогда, когда центр тяжести системы точечных масс бу дет находиться на вертикали, проведенной через центр сферической чаши.
4.18. Вследствие симметрии системы относительно вертикальной плоскости, проходящей через вершину призмы параллельно оси цилиндра, нет смысла рассматривать всю систему в целом. Достаточно ограничиться одним цилиндром и той половиной призмы, с которой он взаимодействует (см. рисунок).
На рисунке j\v и N} — силы трения и нормального давления, действующие на цилиндр со стороны клина, соответственно. Аналогичные силы, действующие со стороны цилиндра на клин, обозначены,
как fjр и N{. По третьему закону Ньютона:
F1
тр
7тр=-/тр ^l=-N;. и N2 — силы, действующие со стороны поверхности на ци-
линдр.
Систему координат выберем так, как показано на рисунке.
113 Условие раскатывания цилиндров означает, что момент сил. вращающих цилиндр против часовой стрелки, относительно оси цилиндра должен быть больше или равен моменту сил. вращающих его по часовой стрелке, т е.
Лр ^ ф •
При выводе этого условия принято во внимание, что плечи каждой
из сил / и Frp одинаковы к равны радиусу цилиндра. Моменты
других, действующих на цилиндр сил. равны ну лю, так как их направление проходит через ось цилиндра.
Условие отсутствия проскальзывания между призмой и цилиндрами означает, что
для цилиндра: N1 + mg + N2 + Fyp + fip = 0, Mj
для клина: —+ N[ + = 0.
Проектируя эти уравнения на выбранные оси и принимая во внимание, что
А
тр
7'
J гр
=/
N|| = pV{| = N\, получим систему уравнений:
N] cos а - / sin а - Frp = 0;
- JV] sin а - mg + N2- / cos а = 0; Mg
--+ Ni sm а + / cos а = 0.
Сложив второе и третье уравнение системы, найдем
N^
( Ms
т +
2
К ¦
114 При раскатывании призмы и цилиндров Fip = pJV2 . Используя эт\ связь, исключим из первого и второго уравнений системы N2.
Art (cosа - psin а) - /<sin а + pcosа) - \ung = 0 .
Домножив это уравнение на sin a, а третье уравнение системы на (cos а - usin а) и вычитая из одного из этих уравнений другое, получим
Mg.
T = -у (cos а - jisin а) - \img sin а. Воспользу емся условием раскатывания:
М\
Я
Отсюда
M
— (cos а - psin а) - р»г sin а
M 2fx(]+sina)
>
Vg
т + -
2 j
т cosa - р(1+ sina)
Подстановка численных значений дает —>55. Данная ситуа-
т
ция может осуществиться лишь в том случае, если призма в месте ее соприкосновения с цилиндром не проскальзывает по цилиндру, т.е. если силой, вращающей цилиндр вокруг его оси, является сила трения покоя. Это условие можно записать, как
/тр ? Ho^vI >
где Po — коэффициент трения скольжения между призмой и цилиндром. С другой стороны, как отмечалось,
/ф* Последовательно, эта ситуация осуществляется, если р.() > р——
N1
115 Отношение Ar2 / N1 можно определить из первого уравнения вышеприведенной системы, если положить в нем / Гр = Fjp = (jjV2 . cos a cos а
N-,
Тогда —— =
и P0 >-
4.19
N1 р(1 + sin а) 1 + sin а
(М\ _ 2(sin а + P1 cos а)
.Для а = 45° P0 >0,41
-т ;
М-1
min - sin а - P1 cos а
Н-2
а)
\ M
т
Л т /mir
= 3.3 .
IP
4.20. Вращение катушки без ее качения по поверхности возможно в том случае, если катушка проскальзывает, т.е. сила трения Frp, действующая на катушку, принимает максимально возможное значение, равное силе трения скольжения
Frp = F-ф = \iN, N — сила реакции опоры (см. рисунок). Связь между величинами сил Frp и N найдем из условия равновесия сил, действующих на катушку F + Frp + N + mg = 0 . Это уравнение следует дополнить также условием, которое обеспечивает вращение катушки. Оно подразумевает, что вращающий момент силы F относительно оси катушки должен быть, по крайней мере, не меньше вращающего момента силы трения, т.е.
Fr>FwR.
Проектируя условие равновесия сил на оси выбранной системы координат и объединяя полученные уравнения с условиями, выражающими скольжение и вращение катушки, сведем задачу к необходимости решения следующей системы уравнений и неравенств:
116 OX: F cos a - Frp =0: OY . Fsina -mg + N = 0\ Frp=IiN: F r> Frp • R.
В этих уравнениях a — угол между направлением действия силы F и поверхностью. Область углов а. при которых возможно
* г
вращение, ограничена значениями a>a = arccos~ . Это ограничение получается при совместном решении неравенства и первого уравнения системы.
