Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2.6. Необходимо нить с привязанной к ней гирькой подвесить за свободный конец к потолку и измерить длину нити /. а также отклонение гирьки от вертикали Ar . Тогда ускорение поезда можно найти по форму ле:
а=
72 которая получается при решении основного уравнения динамики дл? гирьки.
2.7. Единственная сила, которая заставляет брусок двигаться вместе с доской — сила трения.
U f
° Г-ZJ_й>
Cl ->
mg
N + /-' + mg - та в системе отсчета, связанной с поверхно-
стью
OX : Frp = та:
OY -N -mg = 0:
/ ф = p/V (условие максимальности ускорения). Отсюда
1 max
2.8. Силы, действующие на цилиндр: сила тяжести b\ = mg , две силы нормальной реакции граней двугранного угла N] и /V2. две силы трения цилиндра о грани Jrр| и /||і2 (см. рисунки).
/Hgcos? Вид с горца
73 Так как цилиндр обладает осевой симметрией и плоскости двугранного угла симметричны относительно вертикали
|/трі|-|/і
тр2| - /тр
По закону Кулона — Амонтона /тр = pjV . Основной закон динамики для цилиндра имеет вид
та
= mg + Nі + N2 +/,р, + / ір2 •
Так как цилиндр неподвижен в плоскости сечения, перпендикулярного ребру двугранного угла. то. проектируя это уравнение на ось. перпендикулярную ребру, получим (см. рисунок б)
2Nsin~ = mgcos?.
В проекции на ребро (ось ОХ) уравнение динамики для цилиндра запишется, как тах = mg sin ? - 2/Vp . Подставляя сюда N. находим ускорение цилиндра
ах = g sin ? - -
pcos?
sin a / 2
s 3.71 м/с .
2.9. Обозначим а\ — ускорение, с которым брусок поднимается вверх, а і — ускорение, с которым он опускается вниз.
74 Скорость бруска при подъеме меняется по закону v(/) = = V() - ct]t, поэтому время подъема находится из условия \(l\) = U. т.е. Г] = v0 /o] . При этом путь /, пройденный бруском за это время.
. 1 2 .-» равен / = V0Zi —^i- = —Я]/] . При спуске брусок начинает движение без начальной скорости, поэтому спуск его до первоначальной
, 1 2
точки, как следует из уравнения его движения, равен I = -Cijt2 . h \ai
Отсюда — = —. Величина ускорений для движения бруска
' 2 V
вверх и вниз легко находится из второго закона Ньютона. Проектируя уравнение второго закона на ось X (см. рисунок), находим: при движении вверх <у J = g(sina + p,cosa). при движении вниз
/] /sina -цсовa
aI = &(sin a ~ Iicos a) • В итоге — = I---= 0.61.
/2 \ sin a + ^cosa
2.10. Систему координат выберем так, как показано на рисунке.
Основное уравнение динамики: та = mg + T + N + Jrp . В проекциях на оси координат (движение равномерное, а = 0): OX: Q = T cos ? - Zrp - mg sin a .
OY: 0 = jV + Г sin ? - mg cos a. Кроме того, Zrp= \iN . Отсюда
sina + ucosa
7=---mg.
cos? + p.sin?
75 Положим м = Ctgy.
Поделим и домножим числитель и знаменатель этого выражения на ф + ц^ . Тогда
(sin а -+- ц cos а)
T = mg
уі + ц" sin(y + ?)
Натяжение нити T будет наименьшим, если sin(y + ?) примет наибольшее значение, т.е.
Pmin =Y" Г
или
sin ?mm = =
Vi+и2
sina + pcosa При этом 7mj„ =mg-. —s 9.3 Н.
2.11. На брусок действуют четыре силы: сила тяжести F1 = mg , сила реакции опоры N. сила трения Jrp и внешняя сила F. Проектируя основное уравнение динамики для бруска на направления его движения, найдем
a = g[k - (sin a + pcos a)].
Преобразуем это выражение, положив
1 ц
р = ctg?: sin? = —===; cos ? - -
)/і + ц3 >/і + ц2
Тогда a = g\k - yj\ + p2 cos(a - ?)]. Ускорение бруска будет минимальным. если cos(a - ?) = I, т.е. а = ? = arcctgp = 51,3°. При
76 этом величина ускорения атт = -+ р2 J« 2.2 м/с2 при g = 10м/с2.
2.12. Пользуясь третьим законом Ньютона с учетом данных, приведенных в условии задачи, указываем все силы, действующие на каждое из тел системы (см. рисунок).
Составляем основное уравнение динамики в векторной форме для каждого из тел:
7I + Fr\ = т\«\,
Tl+TijTN2+ /тр = m2a2.
+ N3 + FT3 = W3O3.
Чтобы правильно указать направление силы трения /тр , действующей на груз т2 . сравним величину сил, стремящихся сдвинуть систему вправо и влево в отсутствии трения:
Лрав = «3g sin а a 26 H > Fjieo =m,g«10H.
Система будет двигаться вправо, поэтому Zrp направлена в противоположную сторону.
77 Систему уравнений динамики необходимо дополнить законом Кулона — Амонтона:
Zip=Pjv2
и соотношениями между силами натяжения нитей, следующими из третьего закона Ньютона:
If, I = If7I = T,
N=If4I=Tb.
(Блоки изменяют направления действия сил натяжения.)
Принимая во внимание нерастяжимость нити. т.е. N = |A2| = N = a, проектируем уравнения динамики на направление движения и направление, перпендикулярное ему:
N2 = m2S-7O - т - /тр = w3g sin a-T0= m^a.
Решая эту систему относительно Tq , находим
T = ffl^lm'+ sin а>+ w2 (И + sin а>].. Vj g и
Wj +W2 + W3
Как и следовало ожидать, сила натяжения Tq (как, впрочем, и ускорение системы а) обратно пропорциональна суммарной массе всей системы, которая является мерой инертности системы.
2.13. y,4,^^l^2)cosas37H
2.14. T12 =
Wj +W2 +W3
