Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
63 симметрии и для полусферы, и для параболы, которая является траекторией камня.
О
Rll
X
Проектируем уравнения движения камня на координатные оси и получаем:
равномерное движение вдоль оси OX (см. рисунок) с постоянной скоростью v v- = Vqx =Vq- cos а. описываемое уравнением
х = vOX1 ~ vO cosa • /,
равнопеременное движение вдоль оси OY. описываемое уравне-
V2
нием у-= v0 sina •/-, со скоростью, меняющейся по закону
vj- = v0 sin a - gt .
В наивысшей точке подъема камня Vj' = 0. следовательно, вре-
V0 sin a
мя подъема камня до этой точки /1ЮД =-, а высота этой точ-
g
2-2 _ „ v0Sin a
ки над Землей у =-.
2g
Если точкой касания является верхняя точка полусферы, то I p?
у = RH. Тогда Vq=--. С другой стороны, в верхней точке
sin a
траектории камня нормальное ускорение камня ап равно ускорению свободного падения
2 2 2 V V0 cos. a 2
S=«„=T = —.. .
В выражении для ап в качестве радиуса кривизны траектории камня взят радиус полусферы, так как только в этом Случае касание
64 будет единственным при минимально возможной начальной скорости камня (см. решение задачи 1.27).
Из полученных соотношений следует, что угол бросания, при котором скорость камня будет минимальна, равен amill =45° . Со-
ответствующая минимальная скорость Vq11" = -у/2gR , а минимальное расстояние .Vrnm, с которого надо бросить камень, чтобы он перелетел через полусферу
(vrF
^mm =vo cosa min • (под = sin amm • cos amin = R
S
1.29. Угол бросания, при котором скорость камня будет мини-
1 2-І2 мальна, определяется условием: tg~a = 8, или sin a = . Соот-
3
2>l2jgR і—
ветствующая минимальная скорость камня V0 =-—-= 3JgR .
sin а
Минимальное расстояние, с которого следует бросать камень. = STtetgamin =2>/2R.
Указание. См. решение предыдущей задачи.
1.30. Угловая скорость секундной стрелки o>t = (2л/60) рад/с. минутной мм =(2п /3600) рад/с . Если t— указанный интервал времени, а время t, то
Ku •' = <&
[(Oc • I = ф+ 27t.
Отсюда находим
I = ——— = 61 с, 9 = 271—!^— = 0,106рад = 6,1°.
1.31. Угловая скорость вращения пропеллера
о = 27t • п ~ 2.09 IO2 рад/с. 65 скорость поступательного движения V = 44,7 м/с . Воспользуемся принципом взаимной независимости движений. Скорость указанной точки пропеллера относительно Земли й = vnoCT + vBp , причем
V1KK1J-vBp H|vnocT| = V. |vBp| - (S)R
+v =317м/с.
1.32. Отсутствие проскальзывания означает, что скорости точек AuB диска, в которых диск касается реек, совпадают со скоростями реек. Пусть ДЛЯ определенности V] > V2. Скорость точек А и В можно представить в виде векторной суммы скоростей поступательного движения центра диска О и скорости вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр диска (перпендикулярно плоскости чертежа):
^A =V^ +Vep Л, VB =V0+VttpJ.
причем V1Jp y.! =-vBp ? . Запишем эти уравнения в проекциях на ось X. Для случая а):
V, =V0 +(О-Л VI-Vt VI + Vi
J ^ ^=-lTITa' vO =-
[V2=V0-O)-/? 2 R 2
Для случая б) аналогичным образом получаем
„_ vI + v2 Л, _ Vl -V2
0) =-, V0 =-
2 R u 2
1.33. Рассмотрим вначале случай, когда угол ABC— тупой. Проведем OAlAB и OBlBC. Построением нашли неподвижную точку О. относительно которой треугольник AABC совершает в данный момент вращательное движение (через точку О перпендикулярно плоскости чертежа проходит «мгновенная ось вращения»).
66 т.е. можем исключить из рассмотрения поступательную составляющую движения AABC. Отсюда следует и направление векторов V .J. V?, vc, указанное на рисунке.
OB2 =OA2 +AB2; OC2 =OB2 +ВС2; V2a =O2-OA2; V2b = со2 OB2: vl =Co2 -ОС2,
2 2
V? _ vA
2 2
со со
2 2
VC _ vB
2 2
й со
+ AB'
+ ЯС"
Vc
Для случая, когда угол ABC — острый, система исходных уравнений и ответ совершенно идентичны.
1.34. vc =VgJl +
( -> Xa
vi
AB
1.35. vc =vB 1 +
V?
[AB
= 5.24 м/с.
і 5 м/с.
67 1.36. Vc=VaM+ Ц
V Iv^
1.37. Воспользуемся законом взаимной независимости движений твердого тела и представим движение колеса как сумму двух движений — вращательного и поступательного, а именно: каждая точка колеса описывает окружность вокруг оси колеса и вместе с НИМ участвует В прямолинейном движении, Т.е. V = Vgp + Viioct , где
vnoeT =V0 = <Я() • t, |vBp| одинаков для точек А, В, С и Д так как
они равноудалены от оси вращения (оси колеса О). Направление вектора Vbr для каждой точки совпадает с направлением касательной к окружности, по которой движется точка, совершая вращательное движение, или, что то же, ортогонально радиусу, проведенному от оси вращения в рассматриваемую точку. Из условия
непроскальзывания следует v^=0 => |vBp| = a0t, используя рисунок. находим |v?| = |vD
Ускорение точек тела, совершающего сложное движение, представим аналогичным образом а = авр + Ollocr, где o1I0CT = . кро-
/
ме того, CInp = Cin + дт, где дп и ах — нормальное и тангенциальное ускорения соответственно при движении по окружности. Для каждой из точек А, В, С и D.
