Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
wjg(w2 + w3)[2sina + |j,cQsa] Wj +W2 + W3 78
= 13.5 H 2.15. Г23 =
OT3^WJ1 + /W2Xsin a + Ц) гп\ +m2 + w3
s 10.5 H.
2.16. Из условия задачи следует, что начальная скорость бруска V0 = 0 . Возможные состояния тела: тело скользит по поверхности (влево или вправо), тело покоится, тело отрывается от поверхности и движется прямолинейно под углом к горизонту. Проверим возможность реализации каждого из сценариев во всех рассматриваемых случаях. Для этого зададим систему координат (см. рисунок) и найдем результирующую силу Fftci. действующую вдоль оси OY:
Для случаев а) и б) Fpcj < 0, следовательно, тело не отрывается от поверхности. Дія случая в) Fpc3 « 5.5 H > 0. поэтому тело отрывается от поверхности.
Дія случаев а) и б) рассмотрим результат действия сил вдоль
горизонтальной оси. Пусть сила трения Fip направлена по оси ОХ.
т.е. ускорение д направлено против оси ОХ. Уравнения динамики в проекциях на оси OX и OY и уравнение закона Кулона — Амон-тона запишутся следующим образом:
Fpe i = -mg + F1 sin a + F2 sin ? .
Га
mg
OX: F1 р + F) cos a - F2 cos ? = ma x: OY :N + Fi sin a + F2 sin ? - mg = 0; Ffp=IiN.
X ¦
Отсюда a
\x(mg - F1 sin a - F2 sin ?) + F1 cos a - F2 cos ?
X
2
79 Подстановка численных значений параметров дает:
a) Ux і 2.7м/с2, о) ах Sr 2.2 м/с",
т.е. получили результат, противоречащий сделанному предположению (ах <0). Пусть теперь сила трения Frp направлена против оси ОХ. т.е. ускорение сі направлено по оси OX(ах >0). Соответствующая система уравнений, описывающих движение тела:
OX -F1 р + F1 cos а - F2 cos ? = тах; • OY :N + F] sin а + F2 sin ? - mg = 0; Fip=P A'
_ u(-mg + Fi sin а + Fi sin ?) + F1 cos а - Fi cos ?
Откуда а x =-1-------.
m
Для случаев:
а) ax * 2.9 м/с" >0 — результат не противоречит сделанному предположению:
б) Cix a -Ll м/с" < 0 — результат противоречит сделанному предположению.
Таким образом, в случае а) тело будет двигаться в направлении
оси OX с ускорением ах » 2,9 м/с". а в случае б) тело не может скользит ни вдоль оси ОХ, ни против нее, следовательно, оно покоится. В случае в) система уравнений в проекциях на оси OX и OY выглядит следующим образом:
IOX : F] cos а - F2 cos ? = тах; } OY : F1 sin а + F2 sin ? - mg = mav.
Следовательно, оторвавшись от поверхности, тело будет двигаться
I 2 ">
прямолинейно с ускорением a = Jax +а~ »10.5 м/с" под углом av
Ф = arctg — « 60° к линии горизонта.
aX
80 , 2.17. Случай а).
Силы,, действующие на клин и шар, показаны на рисунке. Основное уравнение динамики для шара и клина соответственно есть:
MSm =Mg+ N2 +^l- ¦
тат = mg + N{
По третьему закону Ньютона: N{ = -Ny (|iVj| = |jVj| = A^). Так как
движение тел ограничено вертикальными и горизонтальными поверхностями. то спроектируем уравнение движения для шара на горизонтальную направление, а уравнение движения для клина на вертикальное направление:
May =Ncosa;
\та„
= mg - N sin a.
Опускание клина на высоту h приводит к перемещению шара в горизонтальном направлении на расстояние /, причем h = /ctga .
T . Omt 1 aMҐ
Так как h = ——. а / = ——
2 ' 2
связь между ускорениями, решаем полученную систему уравнений:
, то ат =ауctga. Используя эту
aM =S
tga
1 + —tg a т
Случай б).
ат =g
1
, М. 2 1 + —tg a
т
aM
g tga
2 M tg a + — т tg а + — т
їм ->
-->- tg'a
т
т
і
т
гп
2.20. а = %
tga
M
+ tg"a
т
2.21. Случай а): шарик вращается против часовой стрелки.
В промежуток времени X, в течение которого шарик соприкасается с поверхностью, на него со стороны поверхности действуют две силы: N — сила реакции поверхности, направленная по нормали к ней; Frp — сила трения, направленная вдоль поверхности в
сторону, противоположную оси ОХ, и обусловленная проскальзыванием шарика при его вращении против часовой стрелки в силу условия соR»V . В соответствии со вторым законом Ньютона действие каждой из этих сил изменяет соответствующие компоненты импульса шарика:
Оси координат OX и OY выбраны так, как показано на рисунке. Здесь Py и р1у — конечная (после удара) и начальная (до удара)
составляющие импульса шарика по оси У; р* и р" — соответст-
Apy = Py -Py=Nx, Apx = р\ -Px= = -\INT .
82 вующие составляющие импульса по оси ОХ. Знак минус в правой части второго уравнения учитывает тот факт, что сила трения обусловлена проскальзыванием шарика при его вращении и направлена в сторону, противоположную направлению рх.
Так как при ударе о поверхность деформации шарика упругие, то после столкновения составляющая импульса шарика по оси OY
Ру = Ру = wvcosa. т.е. не изменяет своей величины, но изменяет
направление на противоположное. Поэтому полное изменение величины составляющей импульса шарика по оси OY при ударе равно
Apy - 2/wvcosa = Nx. Составляющие импульса шарика по оси OX до и после соударения
Px = /> vtg?, рх = mvsma.
Часть Импульса рх определяется составляющей импульса по оси OY. Py = mvcosa и углом отражения ?. Окончательно для Apx находим
