Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
sin с sin ft + cos с cos ft cos A = sin С sin В - cos С cos В cos <
(1.1.012)
В случае прямоугольного сферического треугольника
(А - 90°) справедливы соотношения (рис. 9):
cos а = cos ft cos с = ctg В ctg С,
sin ft = sin a sin В = tg с ctg C,
sin с = sin a sin С = tg ft ctg B,
cos В = cos ft sin С = tg с ctg a,
cos С = cos с sin В = tg ft ctg a.
Формулы (1.1.013) можно получить, воспользовавшись правилом Непера,
основанным на пятиугольнике Непера (рис. 10)
при указанном порядке обозначения сторон этого пятиугольника.
Косинус стороны пятиугольника Непера равен:
1) произведению синусов противолежащих сторон;
2) произведению котангенсов прилежащих сторон [4].
2, Квадрантный (четвертной) сферический треугольник. При помощи
корреляции формул (1.1.013) получаются формулы для квадрантного
сферического треугольника (а = 90°):
cos А = - cos В cos С = - ctg ft ctg с,
sin В = sin A sin ft = tg С ctg с,
sin С = sin A sin с == tg В ctg ft,
cos ft = cos В sin с = - tg С ctg A,
cos с = cos С sin ft = - tg В ctg A.
Формулы (1.1.014) можно вывести из общих соотношений, полагая в них а =
90° или по правилу Непера (рис. 11).
С четвертным сферическим треугольником ABC можно связать присоединенный
сферический треугольник АА'С (рис. 12), сторона с' которого является
продолжением стороны с и дополняет ее до 90°. Тогда в сферическом
треугольнике ВА'С две
Рис. 9. Прямоугольный сферический треугольник.
Рис. 10. Первая схема для правила Непера.
(1.1.014)
i 1.0?)
tvt. i. сйстемЫ Координат
33
стороны равны по 90°, угол А = 90°. В присоединенном сферическом
треугольнике АА'С:
В' = 180° - А, а' = Ь, с' = 90° - с, С' = 90° - С, Ь' = В,
поэтому применение к нему формул (1.1.013) дает формулы (1.1.014). g
Кроме того, имеют место: а) формулы Борда:
te4 = V
tgT=V
w
tg
' sin(p - Ь) sin (Р - с)
sin р sin (р - а)
1 sin [р - a) sin (Р ~ с)
sin р sin (р -Ь)
1 sin (р - a) sin (Р- Ь)
m°-A
Henepa.
7
> о § и /
А хд
К
/>' У с
Рис. 12. Чртвертной
сферический треуголь-
ник и присоединенный
сферический треуголь-
Sin p sin (p - c)
(1.1.015)
где a -f- b + c = 2p.
Определяя сферический избыток а следующей формулой:
ст = Л +В + С-180° (1.1.016)
и применяя корреляцию к формулам (1.1.015), находим формулы Борда:
! а Sin 2" sin (л -#)
sin (в- f) sin (°- i)
1 . а smT sin (5 -f)
sin (Л- i) sin (°- f)
! а smT sin (c -f)
5т(л-|)8т(в-|)
(1.1.017)
б) формулы Деламбра:
sin ¦
Ь + с
В-С
b + с
cos-
В+С
. а
*шТ
Ь - с
2
В-С
cos
2
b - с
sin
2
В + С
. а s,n ~2
cos-
а
cos-g-
cos ¦
(1.1.018)
2 Под ред, Г. Н, Дубошина
34
Ч. 1. СФЕРИЧЕСКАЯ Й ЭФЕМЕРИДНАЯ АСТРОНОМИЯ
[" 1.08
Восемь аналогичных соотношений получаются круговой перестановкой букв а,
Ь, с\ А, В, С.
в) Аналогии Непера:
. Ъ - с В - С _ A Sln 2 (r) 2 С ^ 2 . b + с
'
Sin 2
Ь - с
, В + С , Л c°s g
^-2- = с^Т-Ь+~с' cos---------------------
tg
:tg
. В -С
sin--------
а 2
2 . В + С'
Sln 2
В - С
. Ь + с , a C0S 2
tg -о- = tg
2 В + С' cos -i------------
(1.1.019)
Другие восемь аналогий Непера получаются круговой перестановкой букв.
г) Формула Лъюийе\
tg2 т = tg 1 tg tg ^ tg ^. (1.1.020)
Приведенные формулы позволяют определить любые три элемента сферического
треугольника, если известны остальные три.
Основные практические приемы вычисления, а также приближенные формулы в
случае малых углов могут быть найдены в руководствах по сферической
астрономии [1], [4] - [9].
Значения тригонометрических функций для аргументов - углов, выраженных в
различных мерах, берутся из соответствующих таблиц [10] - [20].
Полные сведения о таблицах натуральных значений (и логарифмов)
тригонометрических функций и других математических таблицах, которые
могут оказаться полезными вычислителю, содержатся в специальных
справочных руководствах [21]-[23].
§ 1.08. Соотношения между различными астрономическими координатами
1. Связь между горизонтальной и первой экваториальной системами
координат. Рассмотрим астрономический или параллактический треугольник
PnZ'Z (рис. 13). Применение к не-
му основных соотношений сферической тригонометрии дает
§ 1.04
ГЛ. 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
35
(1.1.021)
формулы
cos A sin Л = cos б sin i = sin г sin А,
cos A cos А = - sin б cos ф -f cos 6 sin ф cos t = sin z cos A, sin A =
sin 6 sin ф -1- cos 6 cos <p cos t =cos z, cos 6 sin t = cos A sin A
= sin z sin A,
cos 6 cos t = sin A cos ф -f- cos A sin ф cos A =
= cos z cos ф -f- sin z sin ф cos A, sin 6 = sin А этф - cos A cos
фсоэ A -
= cos z sin ф - sin z cos ф cos A,
где ф - астрономическая широта места наблюдения (см. § 1.10), А - азимут,
отсчитываемый от точки юга к западу от 0° до 360°.
Рис. 14. Связь между экваториальными системами сферических координат.
2. Связь между первой и второй экваториальными системами координат.
Обе системы координат отличаются друг от друга только началом отсчета и
направлением отсчета часовых углов t и прямых восхождений а. Угловые
величины t и а связаны соотношением (рис. 14)
