Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
ниями
<7= ехр(±^9)~ ?, или (что эквивалентно) <7»= ехр (±^е) _ А .
причем я > 0 > 0. Обращая второе уравнение и учитывая, что cos 0 = (А + D)/2, имеем
1 ехр(±г0) — A cos 0 — А . {sin0 D — A I sin 0 ~q~ В = В ± Ъ ' ~ 2В В '
Но в соответствии с определением
1 1 , IX
q R 1 зтда2
Приравнивая в последних двух выражениях их действительные и мнимые части друг другу, получаем
1 D — А R = 2 В
и, в зависимости от того, какое берется собственное значение,
Я____± sin 0
ла>2 В
Можно показать, что отрицательная величина о»2, отвечающая второму собственному значению, соответствует нереальному случаю, когда энергия пучка должна была бы сильно возрастать при удалений'от оси. Отбрасывая это решение и оставляя только первое собственное значение Я1 = ехр (+10), находим основную моду гауссова пучка, радиус пятна которого дается выражением w= (XB/n sin 0)1/а. Поверхности постоянной фазы этого пучка имеют кривизну R = 2B/(D — А). Разумеется, значение функции, входящей в полученное выше выражение, можно вычислить непосредственно через матричные элементы, что дает
з1Пе-[,-(-4±?)’]\
Другой метод расчета параметров гауссова пучка основан на преобразовании выражения для q. Выделим в нем мнимую и действительную части. С одной стороны, мы имеем ехр(+г0) — ?> A — D . i sin 0
Q ^20
_ Таблица 8Л
СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦЕЙ РЕЗОНЛГГОРА И ЕГООПТИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ Матрица, описывающая полный Проход через резонатор» имеет вид^? ^J, гае AD -ВС — 1
п все матричные элементы действительны.
Неустойчивые системы Р ж сем атр*в аемое евоймво УстоАчивые eactemi
АЛ- D ——> 1, условие неустойчивого 1 резонатора (положительная шетвь) ^ < — 1, условие неустойчивого i резонатора (отрицательная ветвь} ~ - След матрицы *ЛТ$— 1 > ^ - > — 1, условие устойчивого резонатора
*i — ± ехр (0 — ± (<* * + яЬ t) здесь <*,-±а+2в'\ Главное собственное значение Ai (t берется положительным, а 0 — в интервале я) Ai — ехр («8) ¦- cos 0 -Н1 sin в; здесь л A + D COS в — —1 , --[•-тт
Радиус кртаиэны R Отношение компонент собственного Комплексный параметр кривизны f
„ я,-о . iht >> вектора |f . Ai — В ai-A~D 1 fir
к™—?- ± с" » 1 *4-л D-Д ^ sM ** V~ 2"'~* г х, - л 4 vb 1 С 1 & — А , t *ta 0 1 , li.
* 4 “ is 1 i У “* В q 2B 1 ? ¦*’ к 1
Для генерации необходимо, чтобы усиление эа полный проход (в двумерном случае) превышало exp(2if). Приведенные выше формулы определяют радиус кривизны волнового фронта на выходе системы
Параметры гауссова пучка
1. Радиус кривизны
2. Расходимость волнового фронта
3. Радиус пучка
4. Положение перетяжки
5. Радиус пучка в перетяжке
6. Конфокальный параметр пучка
7. Половина угла расходимости в дальней зоие (в радианах)
Параметры гауссова пучка яаходим ю
уравнения для l/q:
2В
D — А' D — A 2 В •
... ( ъв у/.
V я sin 0 )
измеряются в выходной опорной плоскости
Из уравнения для q получим A — D
2 С
w о 1
(влево от опорной плоскости),
( — A,sin0 \Ч*
ЛяС ) '
— sin0
Я»0 _______
Л “ С - КС
го*'-
X жШо_ж / - ХС VЫ ло0 z0 V я sin 0 /
Хорошая, при условии что число Френеля системы достаточно велико и хватает усиления
Селекция мод
Проявляется лишь при малых числах Френеля
’) Таи, где в формулы имеются два знака, верхний эвая соответствует положительной ветви, а нижний —отрииательаой ветви.
*) Необходимо тщательно следить га обозначениями и не путать длину волны Я, с главным собственным значением, которое обозначено символом
140
Глава 3
С другой стороны, как было показано в предыдущем параграфе, если <70 = — inwl/X есть значение параметра q в перетяжке гауссова пучка, то для опорной плоскости, расположенной на расстоянии z справа от перетяжки, мы получим (используя правило ABCD для оптического промежутка длиной z)
Сравнивая эти два выражения для значения q в выходной опорной плоскости, находим, что перетяжка пучка располагается на расстоянии (А —D)/2C слева от опорной плоскости и что минимальный радиус пятна (соответствующий перетяжке) равен
Расстояние ятЦ% иногда называют конфокальным параметром пучка и обозначают «о1) - Его можно вычислить по формуле
sin 6
2о=~—•
В табл. 3.3 сведены результаты, которые мы только что обсудили, а также соответствующие соотношения, полученные нами для неустойчивого резонатора. Однако, прежде чем рассматривать конкретные примеры их использования, обратим внимание на ряд вопросов, связанных с дискриминацией мод.
Во-первых, если устойчивый резонатор сконструирован так, что действующие диафрагмы достаточно малы и, следовательно, число Френеля сравнимо с единицей, то потери энергии вследствие дифракции на краях диафрагмы чрезвычайно малы и нет никакой гарантии, что при включении лазерного усиления будет генерироваться только основная гауссова мода. В самом деле, в некоторых газовых лазерах усиление в разрядной трубке несколько увеличивается вблизи стенок трубки, так что существует большая вероятность возбуждения поперечных мод высшего порядка.
Во-вторых, математики могут заметить, что если число Френеля достаточно мало и потери, возникающие на диафрагме при любом полном проходе резонатора, достаточно велики, то собственные моды резонатора должны были бы описываться вытянутыми сфероидальными функциями. Однако практически рас-nnononoDue амплитуды на выходе лазера все же с достаточно :тепеиыо точности описывается гауссовой функцией.
