Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
•) о отечественной литературе эту величину принято называть радиусом дифракционной расходимости пучка, поскольку на этом расстоянии за счет дифракции площадь пятна станоаатся в два раза больше, чем в перетяжке. — Прим. перев.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
которую для получения мод высших порядков следует умножить на полином соответствующего порядка (в частности, для прямоугольной апертуры — на полином Эрмита, а для круглой — на обобщенный полином Лагерра). При условии, что полиномы нормированы правильно, для вычисления значений q, характеризующих гауссову функцию по-прежнему можно использовать правило ABCD.
vВ-третьих, даже если поперечный размер резонатора ограничен таким образом, что возбуждается только основная гауссова мода, все же могут возникать трудности, связанные с вырождением. Мы проиллюстрируем это обстоятельство, рассматривая два резонатора, описанные в § 5 настоящей главы.
мы вычислили ма-, причем 0 = л/6, одставляя эти циф-
Для первого резонатора (см. фиг. 3.11, а
Г 0,800 0,657' трицу системы, т. е. М = [ ^
Следовательно, в этом случае sin 0 = 0,5. Г ры в формулы, приведенные в табл. 3.3, находим
п_______2 (0,657) ip о
* 0,932 — 0,800 ’ *
(Волновой фронт на выходе резонатора имеет ту же самую кри-
визну, что и поверхность выходного зеркала.)
Радиус пятна w — [ (°’633* 5| ^°’657^ j =5^5. Ю~4 м»0,52 мм
(значение, вполне соответствующее небольшому лазеру).
Положение перетяжки z — '^ГозёбЩГ = м
(перетяжка смещена на 17 см влево и располагается в центре
резонатора).
D Г (-0.633) (10~ 6) (0,5) T/j
Радиус перетяжки ш0 = я (_о 386) — J =
= 5,11-Ю-4 м « 0,51 мм
(это значение почти равно радиусу пятна на выходном зеркале, так что внутри резонатора гауссов пучок имеет практически постоянное поперечное сечение).
я (5,11 • 10~4)2 (0,633) (10-®)
Конфокальный параметр пучка z0 = -е\ = 1,30 м.
Ближняя зона пучка простирается от его перетяжки, смещенной на 17 см влево от выходного зеркала, до расстояния 1ЛЗ м вправо. В этой плоскости радиус пятна увеличится до л/2 w0
148
Глава 8
pt~az
т-о,м
_____L_
рг~о,г
-—Г( 1
Диаметр перетяжки 1,02мм
а
X
Гауссов
профиль
р,*! Тсио рг*о
_____ Гауссов
перетяжки 0,90 т. профиль
Is
6
Фиг. 3.13
(т. е. его значение будет 0,7 мм), а радиус кривизны волнового фроита R *== 2zq » 2,6 м (фиг. 3.13, а).
Половина угла расходимости в дальней зоне -^-==
Приведенные выше цифры соответствуют одной из вполне реальных конструкций небольшого гелий-неонового газового лазера. Они показывают, что гауссов пучок в точности воспроизводит себя после каждого прохода резонатора.
Предположим теперь, что мы ввели в тот же самый резонатор центральный гауссов пучок, радиус пятна и радиус кривизны которого R имеют значения, слегка отличающиеся от приведенных выше. В этом случае полиой воспроизводимости пучка уже не будет, но после шестикратного полного прохода резонатора, поскольку мы выбрали собственное значение, соответствующее 6 = я/6 (и поскольку эта мода симметрична), опять получим исходный пучок.
Если резонатор характеризуется большим числом Френеля, то гауссов пучок последнего типа может циркулировать бесконечно долго, Однако .если апертуры двух торцевых зеркал неве-
/
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
143
лики, то минимальные потери на краях апертур будут у того пучка, радиус пятна которого остается постоянным при каждом его проходе через резонатор. На практике устойчивая генерация , в режиме основной моды обычно достигается в тех случаях, когда 0 точно делится на я или 2я.
Другой пример, в котором реализуется такая же ситуация, представляет собой полуконфокальный резонатор — вторая устойчивая система, рассмотренная в § б настоящей главы. Для этой системы матрица, описывающая полный проход, имеет вид
,а главное собственное значение равно е+<0 = =
= I, так что sin 0 = 1.
В этом случае А = D. Следовательно, радиус кривизны R волнового фронта на выходе равен бесконечности, а поскольку z — 0, то перетяжка гауссова пучка расположена непосредственно в плоскости выходного зеркала. Конфокальный параметр Z0 = 1 М, и формулы ДЛЯ ДО И Шо позволяют вычислить радиус пучка (фиг. 3.13,6)
(0,633 • КГ6^7’ Л лп 1Л-4 I'JrJ = 1—Я--------------) =4,49-10 м « 0,45 мм.
Поскольку этот радиус перетяжки почти такой же, как и в предыдущем примере, половина угла расходимости пучка в дальней зоне будет порядка 0,4 мрад. Если предположить, что лазерная трубка в 3 раза длиннее, чем в предыдущем примере, то можно ожидать увеличения мощности пучка более чем в 3 раза, однако, по всей вероятности, эта мощность распределится по большему числу аксиальных мод, чем в случае лазера с более коротким резонатором.
Мы не собираемся обсуждать здесь подробно методы селекции аксиальных мод. Однако существует простая формула, которая выражает зависимость частоты данной оптической моды не только от расстояния между зеркалами и номера аксиальной моды, но также и от поперечных индексов моды и от действующего собственного значения ei9. Для более подробного ознакомления с этими вопросами читателю следует обратиться к работе Когельника с сотр. (см. литературу в конце книги).
