Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
= +0,200 и Г — 0,340. Теперь вычислим матрицу Г 0,800 0,6571 М “ L -0,386 0,932 J • Ее “еД А + D = 1,732 - 2cos 6 (Очевидно, в этом случае 0 = 30°). Поскольку 0 лежит в диапазоне углов 0—180°, то для собственных значений получаем е±,в = = cos0±/sin0 = 0,866 ± 0,500 L Следовательно,, отношение (комплексное) компонент Собственного вектора равно
0,866 ± 0,500 /- 0,932 Л , ***. ..
--------------------= 0,171 ± 1,296 i
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
Для конкретной геометрии системы, которую мы выбрали, угол 0 равен (почти точно) 30°, или я/6 рад. Отсюда непосредственно следует, что для двенадцати полных проходов через резонатор матрица преобразования лучей равна единичной матрице. Используя преобразование F, введенное в § 11 гл. 1 для диагонализации матрицы, получаем
М12 = F AuF~l = F IF~l = /;
здесь
г12'0 0 1 Г1 0'
л-=Г 0 1=Г‘ °1 Л Lo e-“8J Lo lj'
Следовательно, какой бы параксиальный луч в резонаторе мы ни выбрали, после двенадцати полных проходов через резонатор его направление совпадет с первоначальным. В этом смысле мы имеем устойчивый резонатор, в котором все лучи после некоторого количества проходов воспроизводятся и ни один из собственных лучей не удаляется от оси и не выходит из системы.
Как мы сейчас увидим, нет никакой необходимости проектировать резонатор с каким-либо заданным значением 0 — любое значение 0 дает стабильный режим генерации в том смысле, что потери излучения вследствие ухода лучей из резонатора отсутствуют. Однако на примере второго резонатора, схема которого показана на фиг. 3.11,6, можно понять необходимость использования комплексных отношений, характеризующих собственные векторы. Второй резонатор — это пример идеально устойчивого «полуконфокального» оптического устройства, в котором Р\ — 1,
Р2 = 0 и Т = 1. Тогда матрица М =
0 11
I, а ее след А +
-1 0
-f- D = 0 = 2cos 0 (очевидно, в этом случае 0 = 90°). Собственные значения равны e±iItl2 = ±t, а отношения компонент собственных векторов равны (±t — 0)/(—1) = =Ft (в этом случае они чисто мнимые). Нетрудно установить, что для полученной матрицы М выполняются следующие соотношения:
г -1 °1
М2 = I q _ 1 I и М* = I. При двойном проходе луча резонатор эквивалентен хорошо известному конфокальному резонатору, а в случае четырех проходов каждый параксиальный луч повторяет свою первоначальную траекторию.
Ниже будет показано, что при конструировании лазерных систем обычно наиболее важную роль играет комплексное отношение компонент собственного вектора, а не само собственное значение. Однако для полноты изложения мы приведем формулу, которая позволяет сразу вычислить результирующую матрицу для любого устойчивого резонатора при «-кратном проходе.
5 Зак. 774
Глава 3
Пусть М — унимодулярная матрица с собственными значениями е&в. Тогда мы можем написать
[«in (я + 1)8 — 1) sin п8 В gin д8 -i
”* ¦ sin 6 sin 0 I
С sin nQ i? sin яв — sin (я — 1)8 Г
sin в sin Й -I
Этот результат, известный как теорема Сильвестра, можно использовать для любого значения 8 и любого целого значения п. (Заменяя тригонометрические функции от 6 соответствующими гиперболическими функциями от /. этот же результат можно использовать для вычисления п-кратного прохода луча через неустойчивый резонатор.)
Студенту, которому необходимы навыки работы с теоремой Муавра, можно рекомендовать вывести полученную выше формулу непосредственным вычислением с использованием процедуры диагонализации, описанной в § 12 гл. 1:
Mn^FAnF~1 =
Г е№ — D e~te-Dl Г *",в О ]Г С D-^e~te 1
L С С JL О HL-C ete~D J
ее ilC Sin ё " '
По-видимому, следует проверить также следующие положения:
а) Если в формулу Сильвестра подставить п = 1, то, яо-
ГА 51
скольку 2 сое 0 во А + А мы получим М = I ^ ^ ,
как
и требуется.
б) Подставляя п «=* —1, имеем обратную мбтриду
М~1
в) Если п0 является числом, кратным 2я, то мы получаем единичную матрицу.
§ в. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ И КОМПЛЕКСНЫЙ ПАРАМЕТР ПУЧКА
На этой стадии нашего обсуждения устойчивых резонаторов необходимо ввести понятие «гауссова пучка». Это термин, который используется для описания пучка когерентного излучения с дифракционной расходимостью, . энергия которого остается сосредоточенной вприосевой области и быстр® седеет на периферии в соответствии с гладкой функцией Гаусс». Такой пучок в действительности представляет собой наиболее близкое приближение, которое допускает дифракция, к одиночному лучу нли пучку параксиальных лучей. По мере развития этой обла-
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка 131
сти исследований было обнаружено, что концепция гауссовых пучков, введенная в чисто математическом смысле, позволяет теперь гораздо более детально и полно описывать свойства оптических систем на языке так называемой «гауссовой оптики» *).
Как было показано Когельником и рядом других авторов, детальное описание распространения гауссова пучка в свободном пространстве нетрудно получить из волнового уравнения. Вблизи оптической оси распределение амплитуды А(г, г) «фундаментальной гауссовой моды» дается выражением
