Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
В случае преломления на тонкой линзе или на поверхности с оптической силой Р мы имеем четыре уравнения. Согласно определению, два из них записываются в виде
_1_ _ J_ и 1 _ 1 j ^
Qi R2 л®2 Я\ R\ Я®1 '
134
Глава 3
Третье уравнение 1 /Rt = l/Ri— Р описывает расходимость пучка, и, наконец, четвёртое уравнение w2 = «>i представляет собой условие постоянства радиуса пятна при прохождении тонкой лйнзы. Объединяя эти уравнения, находим \/q2 = l/qi—P. Та-ким образом, мы снова получаем, что уравнение, определяющее Преобразование комплексного параметра q, в точности такое же, как и ДЛя действительного значения R.
Хотя предыдущие рассуждения опираются на формулы, которые мы привели без доказательства, они показывают, что мы можем преобразовывать комплексный параметр кривизны q точно таким же образом, как и параметр R, используя при этом либо ?Г-матрнцы, либо ^-матрицы, либо, разумеется, их любую комбинацию. Кроме того, если известна общая матрица всей оптической системы, мы можем использовать правило ABCD. При этом получим комплексный параметр кривизны на выходе оптической системы:
В § 7 настоящей главы мы йокажем, что комплексные значения отношения компонент собственного вектора для устойчивого резонатора, смысл которых до сих пор оставался неопределенны^ можно идентифицировать со значениями параметра q Основной -гауссовой моды, генерируемой в данном резонаторе, при использовании соответствующих апертур и достаточного усиления активной среды лазера.
6.1. Проверка правила ABCD для гауссовых пучков
Прежде всего попытаемся показать, используя уравнение дифракций, рассмотренное в § 2, что если q\ описывает гауссов пучок в плоскости ОПь то на выходе в плоскости ОПг мы получим другой гауссов пучок, определяемый параметром
Запишем общее одномерное уравнение дифракции
42 ~ Cq\ + D *
оо
л2 (у2) = (~хг)11 S Ш ехР [-ТГ W (уи dyi‘
—оо
Подставляя сюда амплитуду гауссова пучка
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
135
и н:лользуя выражение для эйконала
„2 . n.fl
имеем
+00
/ ч _ (~1VA +f°° Г 2я‘ Г ^ I 2У1У2 , М j
л*<^ = (лв7 J ехр ГтЧ^Г+1в-------------------------5B” + -5rjJrf^e
— 00
(2aiDfi\ +c° Г / ni niA \ .
“ЧЯВ ) eXpV 2ЯВ J J eXPbiU, A,B J ЯВ JJ yi'
— 00
Для вычисления этого интеграла сделаем следующие две подстановки:
у? „ I iA 1
и = — -Гй- и
IB Xqi _г ЯВ
S'
Тогда интеграл принимает вид
+ °° / 2 \
J exp ~-j ехр (2я/у,о) Лл.
— 00
Это хорошо известная формула преобразования Фурье, причем значение интеграла равно sexp (—nv2s2). Переходя к исходным обозначениям, получим
( — i V/j / 2яг%| \ Г — 1 -I1/*
4г(г/г) = V.Tfi'J ехр V ЬХВ ) L (i/Xqi + iA/XB) J *
Ч/. \~пу\ (-D 1
AeXpL Х2В2 {l/kqt + iA/XB) 1 ~
_ ( Y* Г 2я‘ Dy2 ^ Г “ ny2iXB4l 1
' “4^,+bJ ехр v 2ХВ ) еХр L Х2В2 (Л<7, + в) J ~
Записывая величину
D
41
(Aqi + В) в виде
A Dqi + BD — <71 В (C</i + Д)
A4i+B ИЛИ A4i + B '
получаем окончательное выражение:
* /.. ч ( ’I V’ - Г 2Я*»2 + °)
136
Глава 8
В § 8 настоящей главы мы покажем, что комплексную величину [qil(Aqi -f- В)]71, стоящую перед экспонентой, можно представить в виде [(Ш1/Ш2) exp (t^i2)]‘/a, где ад2 — действительное число, равное радиусу пятна пучка, а Ф12 — действительное число, определяющее фазовый сдвиг, возникающий при распространении пучка между двумя опорными плоскостями. (Кроме того, конечно, имеется очень большой набег фазы всего пучка, опре-
*«
деляемой постоянной величиной ^ ndz, которую мы опустили
*i
в выражении для эйконала.)
Рассмотрим теперь подробнее показатель экспоненты, заключенный в квадратные скобки, и покажем, что ои имеет квадратичную зависимость от цй, характерную для гауссова пучка. Приравнивая показатель экспоненты величине (2ш'/А,)(г/|/2<72), мы находим, что <72 — комплексный параметр кривизны гауссова пуЧка в выходной опорной плоскости — действительно дается выражением
Aqt+B
— Cql + D'
Выше мы провели вычисления для одномерного случая, т. е. фактически для цилиндрических волн. Одиако любую гауссову функцию, которая описывает амплитуду сферической волны, можно представить в виде произведения двух независимых одномерных цилиндрических волновых функций.
Таким образом, если мы умножим амплитуду А^уг) на сб-ответствуюЩую амплитуду, зависящую от координаты х, то получим для сферической волны следующее выражение:
где KiiHBj-два различных радиуса пятна, а
_ _ Aqt+B К — Cqt+D
— значение q в опорной плоскости, расположенной на выходе системы.
§ 7. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПУЧКА, ИЗЛУЧАЕМОГО ЛАЗЕРОМ
Мы будем теперь рассматривать комплексное отношение компонент собственного вектора для устойчивого резонатора как значение q, которое определяет геометрию гауссова пучка, гене-
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка 137
рируемого в системе, если она работает в режиме возбуждения основной моды.
В соответствии с результатами, полученными в § б, если
Г А В 1
I ^ I — матрица, описывающая резонатор, и если ее два
собственных значения равны exp(±i0), то значения q, сохраняющиеся при полном проходе резонатора, даются выраже-
