Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим вначале численный пример. Резбнатор, показанный на фиг. 3.9, состоит из двух зеркал, причем одно из них, выпуклое, имеет радиус 8 м и расположено на расстоянии 1 м от плоского выходного зеркала. Используя выражение для матри-
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
123
В этой плоскости пучок сужается
? этой плоскости пучок становится широким
ОП
М
1,25 2,25 0,25 1,25
Л^ + 2 лг°+ Vz
Rr+3 Л?2“ "5
Фиг. 3.9
цы полного прохода, полученное в § 4 настоящей главы, для расчета рассматриваемой системы подставим в нее значения Т = 1,0, Pi == — 0,25 и Р2 = 0 соответственно в метрах и диоптриях. В результате получаем матрицу, описывающую проход луча через резонатор в направлении от выходного зеркала и обратно к нему:
Г 1,25 2’251
L 0,25 1,25 J '
След этой матрицы А + D — 2,5. Чтобы найти собственные значения, предположим, что t — действительное положительное число. Тогда получим Ai = 2 и Х2 = 0,5. Следовательно, соответствующие отношения компонент собственных векторов равны (X,! — D)/C = -\-3 и (А-2 — D)/C = —3. Согласно нашей интерпретации, эти отношения представляют собой радиусы кривизны волновых фронтов1). Первое отношение определяет сферическую волну, исходящую из точки, смещенной на 3 м влево от выходного зеркала, а второе — сферическую волну, сходящуюся в точку, смещенную на 3 м вправо от него.
Рассмотрим теперь один из лучей, принадлежащих пучку, расходящемуся из точки 5. Пусть его лучевой вектор записы-
*) Точнее говоря, втн отношения соответствуют приведенным радиусам
2 = n, tfn, где я — показатель преломления среды. Однако в данном случае имеется в виду свободное пространство, т. е. я = 1, и, следовательно, Ri, t совпадает с фактическими радиусами кривизны волновых фронтов. — Прим. ред.
124
Глава Я
Г °»03 1
вается, например, в виде I q 01 J * ®тот ЛУЧ проходит достаточно
близко к оптической оси системы. Поскольку лучевой вектор является одним из собственных векторов матрицы М, найдем, что
Г 0.03Я, I
после одного полного прохода он принимает вид |_ о 01Л J =
Г 0,031
Lo.oiJ’
так как ему соответствует собственное значение 2.
Новый луч также принадлежит исходному пучку, однако он смещен от оптической оси на расстояние, в два раза большее, чем расстояние от оси, которое имел исходный луч. После п проходов через резонатор смещение луча от оси увеличится в 2п раз и будет увеличиваться до тех пор, пока его путь не перекроет одна из диафрагм системы.
Чтобы более ясно представить себе, что происходит в этом случае, преобразуем нашу матрицу к новой «паре» опорных плоскостей, совпадающих друг с другом и расположенных в точке S, из которой пучок лучей расходится. Умножая справа и слева матрицу М на соответствующие ^"-матрицы, получаем
Г1 -31 Г 1,25 2,251 Г 1 3 Я________Г 1 —31 Г 1,25 6 I
10 1 J L0,25 1,25 J L0 1 J — Lo 1 J L 0,25 2 J ~~
Г0’5 °1
L 0,25 2 J
Поскольку матричный элемент в правом верхнем углу матрицы равен нулю, полученная нами матрица представляет изображающую оптическую систему. При каждом проходе луча через резонатор любое распределение, существующее в плоскости S, будет сжиматься по оси у и расширяться по соответствующей угловой координате V в два раза (или в общем случае в Ai = = е* раз).
С другой стороны, если перейти к опорной плоскости, проходящей через точку L (фиг. 3.9), то получим матрицу
Г 2 0 1
L 0,25 0,5 J *
которая, напротив, дает расширение по оси у и
сжатие по соответствующей угловой координате V.
Таким образом, с точки зрения геометрической оптики пучок лучей произвольного первоначального вида (например, спонтанное излучение) в результате многократных прохождений через резонатор сконцентрируется в очень небольшой центральной области плоскости S и, напротив, сильно расширится в плоскости L. Как правило, процесс расширения ограничивается диафраг-
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
125
мами, установленными в плоскости L, однако сжатие пучка в плоскости S происходит вплоть до дифракционного предела, определяемого максимальными значениями параметра V, допускаемыми системой.
Вместо частично отражающего выходного зеркала конструкторы, создающие лазерные системы, нередко используют зеркала, центральная область которых является полностью отражающей. При этом излучение, выходящее из резонатора, имеет форму кольца и возникает за счет радиального расширения пучка, а именно выходят те лучи, которые в результате последнего прохода через резонатор выходят из него, минуя плоское зеркало (фиг. 3.9). Хотя этот пучок довольно быстро расходится, его расходимость является дифракционной, так что такой пучок можно коллимировать или вновь сфокусировать в небольшое пятно, используя дополнительную оптическую систему.
Резонатор с запланированными потерями энергии, который мы рассмотрели выше, обычно называют «неустойчивым». Вообще говоря, этот термин в данном случае не совсем уместен, поскольку волновой фронт плавно и достаточно быстро изменяет свою форму, воспроизводя значения R, определяемые собственным вектором; тем не менее при каждом полном проходе резонатора соответствующий пучок лучей расширяется, причем «потери» каждого рассматриваемого отдельно пучка возрастают до тех пор, пока его лучи вообще не покинут систему. Поскольку радиальное расширение пучка происходит как по оси х, так и по оси у, то в центральную область выходного зеркала после каждого прохода пучка через резонатор возвращается четвертая часть исходной энергии, поэтому необходимо использовать лазерный усилитель, который давал бы за два прохода усиление, равное по меньшей мере четырем (или в общем случае равное X2 = e2t), и таким образом поддерживал бы непрерывную генерацию лазера.
