Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем рассматривать вопросы согласования мод, мы должны вернуться к вопросу, упомянутому в предыдущем параграфе, а именно рассмотрим сдвиг фаз фи, возникающий у гауссова пучка при распространении его от одной опорной плоскости до другой, используя правило ABCD. В общем случае этот набег фазы может привести к изменению яркости и, следовательно, напряженности поля в центральной области пучка.
Рассмотрим сперва гауссов пучок, радиус перетяжки которого Доо мал и сравним с X. Для достаточно большого диапазона
и а
144
Глава 9
углов (dtk/nwo рад) волновой фронт световой волны, достигающей плоскости ОПь можно считать сферическим с радиусом Ri. Мы можем представить это геометрически как пучок лучей, также расходящихся из точки, расположенной в области перетяжки. Для некоторого луча, принадлежащего данному пучку и распространяющегося под углом Vi к оси, можно записать лучевой век-
тор ? у 'J , который в выходной плоскости преобразуется к виду
ГЪКЛ + 1
L v2 J^Lc/m+dvJ-
При условии что в оптической системе отсутствует поглощение, весь световой поток, попадающий на ОПь целиком пройдет через ОП2. В частности, доля энергии, прошедшая через круг радиусом у\ = /?i Vi в плоскости ОПь должна пройти через круг в плоскости ОП2, радиус которого у2 = ARiVi -+• BVь Таким образом, очевидно, если мы будем рассматривать эту задачу в двух измерениях, то энергию (яркость) в приосевой области можно найти, умножая плотность потока света на «фактор площади» [R\/(ARi + В)]2, а амплитуду электрического поля следует умножить на R\/(AR\ + В) или, в одномерном случае, — на
дам*, + в)]\
Как было показано выше, если область перетяжки гауссова пучка не слишком мала, то удовлетворительное формальное описание пучка можно получить при условии, что мы рассматриваем любое отношение у/V не как действительное значение R, а как комплексное значение q. Однако очень сложно найти какую-либо разумную интерпретацию комплексных значений как для у-, так и для У-значений. Тем не менее, как было показано в § 6 настоящей главы, множитель q\!(Aqi + В) наглядно свидетельствует о том, что эти значения обязательно появляются в процессе решения уравнения дифракции. При этом мы установили, что модуль этого комплексного множителя определяет отношение wjw2, соответствующее отношению yily2, рассмотренному выше, а аргумент фп определяет фазовый сдвиг всего пучка (в дополнение к значительно большему набегу фазы 2яЛД).
Чтобы проверить, что
I Qt I = ( w1 V
I Aq, + в | UJ ’ воспользуемся обращенной формой правила ABCD:
1 _tt______1 __ Cql + D С + P/у, С + О//?, + aP/nrf
Щ яа>2 q2 Aq{ + В А+ B/q, А + В//?, + iXB/nwf '
)
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
145
Умнод^я числитель и знаменатель последнего выражения на число, комплексно сопряженное знаменателю, и записывая знаменатель в исходной форме А + B/qit получаем
1 iX _ (С + D/R\ + iXD!nrf)(A + В//?! - ikB/nw])
R2 пя% | А + B/qx |2
Приравнивая мнимые части этого уравнения, имеем
iX _ iX (DA + DB/Rl -CB- DB/Rt) iX j jqff j"
nw\ nw\ | A + B/q{ |2 nw\ |: Aqx + В j*
(здесь мы учли, что определитель AD — ВС =1). Следовательно, в окончательном виде формула преобразования размера пятна записывается следующим образом:
*-
(—1Л = q' 1
(Aqi + В)* I'
или (что эквивалентно)
JEieb+_L I
w 1 I ' q 1 I
В частном случае, когда гауссов пучок совершает полный проход через оптический резонатор, комплексный множитель Qil(Aqi +5) по-прежнему позволяет нам найти преобразование размера пятна или набег фазы. Но если мы выберем значение так, что оно совпадет с собственным значением рассматриваемого резонатора, т.е. (е<е— D)/C = B(eie — А), то величина q\/(Aqi + В) будет равна просто e~ie. Хотя, как и следовало ожидать, размер пятна не меняется, остается фазовый сдвиг, который определяется собственным значением резонатора eie. (При соответствующей ситуации для неустойчивого резонатора в нем не происходит никакого фазового сдвига, но значение у умножается на действительное собственное значение е*, т. е. на поперечное увеличение системы.)
В большинстве оптических приборов небольшой фазовый сдвиг, возникающий одновременно для всех лучей пучка, как правило, не играет существенной роли. Однако регулярное повторение фазового набега внутри лазерного резонатора приводит к небольшому смещению оптической частоты излучения на выходе системы. Корреляция фазового сдвига такого рода может, кроме того, потребоваться при очень точных интерфероме-трических измерениях длины, в особенности при использовании излучения в инфракрасном или микроволновом диапазонах.
Здесь следует сделать два небольших замечания относительно учета оптических эффектов, которые могут давать выходное зеркало и его подложка. В большинстве случаев используются
146
Глава 8
частично отражающие вогнутые поверхности. Если предположить, Что такая поверхность имеет кривизну, то, за исключением тех случаев, когда прозрачная поверхность подложки также имеет кривизну и полностью компенсирует влияние кривизны частично отражающей поверхности, зеркало будет действовать как слабая линза (обычно рассеивающая). Эта линза не будет оказывать никакого влияния на форму волны, возбуждаемой внутри резонатора, но будет изменять значение Я пучка, выходящего из него. Однако еслн сделать прозрачную поверхность выходного зеркала слегка выпуклой, то на выходе можно получить гауссов пучок, который слабо сходится. В таком случае вся ближняя зона пучка будет находиться вне резонатора и может быть пригодна для внешнего использования (без применения какой бы то нн было дополнительной оптической системы для согласования мод; такие системы мы обсудим в следующем параграфе).
