Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Xu - Р-4 = A4i (Xt\ - X1) + h42 (Xn - X2) + Z41.
Выборочные оценки ц3 и Ji4 равны
Аз = х3,
A4 = X4,
а нормальные уравнения имеют вид
/си cl2\fh3l\fci3\ I си ciA(R*i\(ciA \ с21 C22J[H32J \c23j' \с21 c22)\h42J [c24J или в единой матричной форме (11.3.25)
I h\ &зА(сЛ\ C2A = ( C13 C2A \A4i A42JIc12 C22) [с]4 C24J'
Матрица ковариации остаточных ошибок. Так как с помощью модели (11.3.23) описываются системы со взаимодействием между
Многомерный спектральный анализ
251
входами, естественно считать, что случайные величины Ziq+h,t, Z(q+i)t коррелированы в одинаковые моменты времени и имеют матрицу ковариаций с элементами a\v Соответствующая матрице V1 матрица выборочных ковариаций имеет элементы
5(<7+А) (в-Н)
tz(q + l) t
N
— "AfS lXt (q+k) ~ h(q+k) \xt\ — ••• ~ n(q+k) q xtq] X
X [X( (q+D — h(q+t) txtl
n(q+t)qxtg}. (11.3.26)
Равенства (11.3.26) можно упростить с помощью нормальных уравнений (11.3.24), что дает
-ft с
• n(q+k)ql'q(q+lY
(11.3.27)
C(q + k)(q + l) h(q+k)lCUq + l)'
ft C
n(q+k) 2^2{q+l)
Матрица ковариаций оценок. Поскольку нормальные уравнения получены при отдельном рассмотрении каждой из регрессий в (11.3.23), из (П4.1.9) следует, что матрица ковариаций оценок параметров, входящих в какое-нибудь одно из уравнений (11.3.23), равна
V [bq+k] = (Х'Х)-' o\q+k) iq+k) = Cqqlo2{q+k) (q+k).
С помощью (11.3.24) остальные ковариаций оценок параметров, входящих в разные уравнения (11.3.24), можно найти из равенств
E [hq+k, hUi\ = E [(Х'Х)"1 Х'х,+*х',+ ,X (Х'Х)"Ч = (Х'Х)"1 a(q+k) (q+l).
(11.3.28)
Отсюда матрицу ковариаций оценок всех параметров, имеющую размеры qr X qr, можно записать в виде
V(h) =
¦'qqa(q+1) (q+l)
Со]
??"(? + 1) (? + 2)
^??"(? + 1) (q + r)
'qq°(q + 2)(q+\) ^qq0(q+2) (?+2)
C Ol
¦ ¦¦ C nl
qq (?+2) (q+r)
(11.3.29)
qq (q+r) (?+1) ~qq"(q+r) (?+2) •"• ~ ??^ (q+r) (q+r)
где h' = (hq+uhq+2,... ,hg+r). Матрицу (11.3.29) можно компактнее записать в виде прямого произведения матрицы входных ковариаций C99 и матрицы ковариаций остаточных ошибок Czz
V(h):
Cqq@Czz.
(11.3.30)
252
Глава 11
Выборочную оценку матрицы (11.3.30) можно получить, если заменить а2ы в (11.3.29) на выборочные оценки (11.3.27). С помощью (11.3.30) можно получить доверительную область для полного вектора параметров h'
(h - НУ V (h) (h - h)< s2for, q (Л,_, _r) (1 - а). (11.3.31)
Пример. Для упоминавшейся выше системы с двумя входами и двумя выходами выборочная матрица ковариации остаточных ошибок из (11.3.27) равна
V„ =
J33
J34
• С33 ^31С13 ^32С23 С34 ^31С14 ^32С24
С43 ^41С13 '
H42C23 C44 ^41C14 Й42С24.
Матрицы ковариации оценок параметров, входящих либо в одно уравнение, либо в другое, по отдельности равны
. С[2 C22
D
33'
V[AJ-
Сц C21 Cl2 C22
D
где D = CnC22-C]2.
Отсюда
с" „2 33'
Var [A31] -Cov [й31, H32} =-^а23, Cov [H32, ft31] = -^-0?,
УагЫ = ^Гстзз.
СП „2 44'
Var [Zi41] = ^ а Cov [A41, S42] = -?-ff! Cov [Zi42, Zi41] = ^-0^,
Далее, матрица ковариации оценок всех параметров (11.3.29) равна
/Cov [H31, Zi31] COv[Zi31, Zi32] Cov[Zi31, Zi41] Cov[Zi31, Zi42] Cov [Zi32, Zi31] Cov [Zi32, Zi32] Cov [Zi32, Zi41] Cov [Zi32, Zi42] CoV[Zi411Zi31] Cov[Zi41, Zi32] Cov[Zi4,, Zi41] Cov[Zi4,, Zi42] XCOv[Zi421Zi31] COv[Zi421Zi32] Cov [Zi42, Zi41] Cov [Zi42, Zi42] • И наконец, выборочная оценка матрицы V(h) да«тся равенством
V(H) =
V(H) = C1
qq\
Г Ч2 ^ И^ЗЗ C11S34 C12S33 C12S34
1 CUS43 C11S44 Г ч2 ''12^43 Г ч2 ь 12й 44
D C21S33 C21S34 Г ч2 C22S34
Г о2 , С2Г43 C21S44 Г Ч2 ^22^43 C22S44
Многомерный спектральный анализ
253
11.4. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
В этом разделе мы обобщим методы разд. 11.3 таким образом, что их можно будет применять в частотной области. Имеются два основных отличия моделей, используемых в этом разделе, от моделей разд. 11.3. Во-первых, модели разд. 11.3 описывали регрессии и корреляции в одинаковые моменты времени, так что они фактически описывали лишь свойства установившихся значений системы, В этом разделе мы рассмотрим динамические модели, являющиеся обобщением моделей предыдущего раздела. Во-вторых, в разд. 11.3 предполагалось, что шум (остаточные ошибки) является белым. В настоящем же разделе шум может быть совершенно произвольным стационарным процессом.
11.4.1. Анализ многомерных частотных характеристик, единственный выходной процесс
В этом разделе мы покажем, как можно оценить частотные характеристики модели
• ••+ J hiq+l)q(u)[Xq(t-u) + Xq]du + Z(t), (11.4.1)
— OO
которая является динамическим обобщением модели установившихся состояний (11.3.1). Для того чтобы не усложнять изложение основных идей анализа, мы предположим, что имеются записи бесконечной длины еДИНСТВеННОГО выходного Процесса X(q+i)(t) и q входных процессов. Чтобы еще более упростить задачу, рассмотрим частный случай, когда число входов q равно 2.
Действуя так же, как и в Приложении П5.1, можно показать, что выборочные оценки функций отклика на единичный импульс hsi(u) и h32(u), дающие минимальную среднеквадратичную ошибку, должны удовлетворять системе уравнений Винера — Хопфа
