Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Многомерный спектральный анализ
257
где g32(u) —решение соответствующего интегрального уравнения Винера — Хопфа. Аналогично прогноз входа X1 (t) только по прошлым значениям X2(O приводит к остаточной ошибке
OO
E1 (О = (X1 (О - P1) - J gi2 (и) (X2 U-U)- р2) du.
о
Взаимная частная ковариационная функция. Теперь можно определить взаимную частную ковариационную функцию между Xi(O и X3(Z + и) после учета влияния X2(t) следующим образом:
Y1312(K) = CoV[E1(O, е3 (* + «)] =
OO OO
= Vis (") - \ Ёз2 (v) у 12 (и - V) dv - J" gl2 (v) Y23 (и + v) dv +
о о
OO со
+ / J gl2(v) g32(w)y22(u + V - w)dv dw. (11.4.15)
о O
Взаимный частный спектр. Взаимный частный спектр можно получить, если взять преобразование Фурье от (11.4.15) и заменить біг на Г12/Г22, a G32 на Г23/Г22. В результате получим
r13|2(/) = rl3(/)-r"[f^;ffl . (11.4.16)
Нормированный взаимный частный спектр
*.з,»(А- ,-J- 8Г,3|'(П , , ч (П-4.17)
Угп(г)(1->4ш) г33 (/)(i-x|a(fl)
получается из (11.4.16) с помощью соответствующей нормировки.
Спектр частной когерентности. Квадрат спектра частной когерентности равен квадрату модуля величины хі3|г(/). Проще всего его вычислить, используя спектральный аналог равенства (11.3.22), а именно
1-*wfl-jnl^- (11-4Л8)
I - х23 (f)
Коэффициент х23|2(/) равен квадрату коэффициента корреляции двух процессов «на частоте f» после учета влияния процесса X2(t).
Частный фазовый спектр. Частный фазовый спектр равен аргументу комплексного выражения (11.4.16) или выражения (11.4.17).
258
Глава 11
Его можно записать в виде
Фіз |2W- arctg [_ ЛіїЛи + _ Л]зГ22 j. (11.4.19)
Аналогичные выражения для квадрата частной когерентности X2J3I1(Z) и частной фазы ср2з|і можно получить с помощью перестановки индексов в (11.4.18) и (11.4.19).
Следует отметить отличие частной фазьіфі3|2(/) от фаз фзі(/) и фз2(/), полученных из частотных характеристик модели (11.4.1). Фаза фзі (f) является мерой фазового сдвига между X1(J) и X3(t), когда Xx(I) изменяется по синусоидальному закону, но X2(I) не меняется. А частная фаза Фізі 2 (f) является мерой «непосредственного» фазового сдвига между Xx (г) и X3(t), после того как учтены фазовые сдвиги между X2(t) и X3(t) и между X2(г) и Xx (t). В случае когда имеется только одна входная переменная, частный фазовый угол равен обычному фазовому углу.
Для q входов взаимный частный спектр является частотным аналогом (11.3.21), а именно
Jc(A= г Я(*+1)*(Л (11.4.20)
где Лип — соответствующий элементу Г/m мипор спектральной мат-рицы всех (q + 1) переменных.
Из (11.4.20) можно получить частные спектры когерентности и фазы.
Резюме. Как и при анализе двумерных временных рядов, основной интерес для нас представляют различные виды спектральных оценок: либо для случая, когда ряды находятся в одинаковом положении по отношению друг к другу, либо же когда некоторые из них являются входами, а остальные — выходами физической системы. Если все ряды равноправны, то основной интерес представляет спектр множественной когерентности. Кроме него, обычно вычисляют еще спектры частной когерентности и фазы для некоторых отобранных пар переменных. Если же часть рядов представляет собой входы, а остальные ряды — выходы некоторой физической системы, то самая важная часть анализа заключается в оценивании частотных характеристик системы. Другую важную выборочную оценку представляет собой спектр остаточных ошибок, описывающий шум в системе. В этом случае спектр множественной когерентности интересен лишь постольку, поскольку от него зависят доверительные интервалы для функций усиления и фазы. Оценивание спектра множественной когерентности обсуждается в разд. 11.4.5. Доверительные интервалы для функций усиления и фазы выводятся в разд. 11.4.6.
Многомерный спектральный анализ
259
11.4.4. Анализ многомерных частотных характеристик; несколько выходных процессов
Модель. В этом разделе мы перенесем в частотную область многомерный анализ, который для временной области был изложен в разд. 11.3.4. В качестве обобщения модели установившихся состояний (11.3.23) рассмотрим динамическую модель
OO
Х(,+г)(0-1*(,+г)= J h(u)[x,(*-u)-x,]dM + z(,+r)(0, (11.4.21)
— OO
где Х(7+,.)(/) —вектор выходных переменных, X4 (t) —вектор входных переменных и Z(q+T)(t) —вектор переменных шума. Например, для q = 2 входов и г = 2 выходов модель (11.4.21) можно записать в виде
со
X3V)-Pi= j h3l{u) [X і U-и)-X1] du +
— OO
OO
+ J Zz32 (и) [X2 (t -U)-X2] du + Z3 (t),
(11.4.22)
со
*4 (O - 1*4 = J A4i (и) [X1 (t - и) - X1] du +
— OO
OO
+ f A42 {u) [X2 {t -и) -X2] du + Z4 (t).
— со
Как и в предыдущем разделе, предположим сначала, что имеются записи бесконечной длины для всех входов и выходов.
Оценочные уравнения. Как и в разд. 11.3.4, выборочные оценки функций отклика на единичный импульс h^(u), минимизирующие среднеквадратичную ошибку, можно получить, минимизируя по отдельности среднеквадратичные ошибки
со
J ZHt) dt
- OO
Этот процесс приводит к системе уравнений вида (11.4.7), а именно
оо
V(,+t)(u)= J \qq(u-v)h(q+k)(v)du, ?=1,2,...,/-. (11.4.23)
