Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 2" -> 76

Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 2 — М.: Мир, 1972. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt21972.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 85 >> Следующая

OO OO
Y13(m)= J A31 (v) Yn (« - у) dv + J A32 (v) yl2{u - v) dv,
— CO — OO
(11-4.2)
Ї2з(")= j h3l(v)y21(u-v)dv + j h32(v)y22(u-v)dv.
Заметим, что уравнения (11.4.2) можно получить также, умножая все члены равенства (11.4.1) сначала на Xi{t—u)—X1 и беря ма-
254
Глава 11
тематическое ожидание, а затем на X2(t— и)—Xz и также беря математическое ожидание.
Взяв от (11.4.2) преобразование Фурье, получим уравнения в частотной области
T13(f) = H3l(f)Tu(f) + H32(f)T12(f),
Г23 (!) = H31 (J) T21 (f) + H32 (f) T22 (f). (11.4.3)
Решая эти уравнения относительно H3i(f) и H32(f), получаем следующие выражения для частотных характеристик, включающие авто- и взаимные спектры:
И (h _ T13 (!) T22 u) - T23 (!) T12 (!)
Пз,и; T11(Dr22(D-IT12(DI2 *
н Ih- Ггз(РГ„ (D-T13(DT21 (D П11„
H32 (J)- T11(Dr22(D-IT12(Dl2 • (1L4-4)
Чтобы получить выражения для функций усиления и фазы, нужно взять модули и аргументы комплексных функций (11.4.4). Например,
Gu-VK + Mv ?3. = ^(--?-), (11-4.5)
где
(A13T22-J-Y23Y12-A23A12)
A31=-
(T11T22-I T12 |«)
о _ (Y13T22-Y23A12-A23Y12) 031 ~ (T11T22-IT12P)
(11.4.6)
Для q входов уравнения (11.4.2) имеют вид
OO
?(,+!)(")= { Y„(~-v)hiq+l)(v)dv, (11.4.7)
— OO
где Y(?+i)(") —имеющая порядок q + 1 матричная ковариационная
функция одного выхода и q входов,Ь(,в+1) = (А(?+1)1,А(?+1)2.....h{q+[)q),
a \qq(u) — матричная ковариационная функция входов. Взяв преобразование Фурье от (11.4.7), получаем
Г(,+„(/)-Г„(/)Н(,+1)(/), (11.4.8)
где Г(9+1)(/) —вектор взаимных спектров выхода X^q+i)(t) и входов, г<7в спектральная матрица входов и H('e+1)(f) = (H{q+1)l(f),
Hiq+i)2(f).....Hiq+vqtf))- Решая э™ уравнения и беря модули и
аргументы решений, как это делалось выше, можно найти функции усиления и фазы.
Многомерный спектральный анализ
255
11.4.2. Спектр множественной когерентности
В.этом разделе мы дадим определение спектра множественной когерентности. Он является частотным аналогом множественного коэффициента корреляции, введенного в разд. 11.3.2. Прежде всего необходимо вывести выражение для спектра шума (или остаточных ошибок), которое необходимо для получения выборочных оценок функций усиления и фазы и само по себе представляет значительный интерес.
Спектр остаточных ошибок. Чтобы вычислить спектр остаточных ошибок Vzz(f) в модели (11.4.1), необходимо найти их автоко' вариационную функцию. Действуя так же, как и в разд. 11.3.2, находим, что автоковариационная функция процесса Z(I) равна
OO
Y2z(") = Y(ff+i) („+!>(«)-\ h(q+\)\(v)4(q+\)\(u-v)dv- ...
о
OO
••• - J hiq+l)q(v)y(q+l)q(u-v)dv.
о
Взяв от этого выражения преобразование Фурье, получим спектр •остаточных ошибок
^ZZ (f) = Г(? + 1) (? + 1) (f) - #(? + 1) 1 (/)Г(? + 1) 1 (f) —
... -H(q+l)q(f)T(q+l)q(f), (Ц.4.9)
что является частотным аналогом выражения (11.3.7).
Квадрат спектра множественной когерентности. Действуя так же, как и в разд. 11.3.2, выражение (11.4.9) можно записать в виде
rzf(/) = r,,+.)«,+ .)^[1-<+i).2...,(/)]. (П-4.10)
где величина
^+¦».2...?(/) = ^+1)1(/)Г(?+1)1(/)+ ... +Я(?+1),(/)Г(?+1),(/)
называется квадратом спектра множественной когерентности вы* ходного процесса и q входных процессов. Спектр множественной когерентности дает долю спектра выхода, которая может быть предсказана по входам. Как показывает равенство (11.4.10), оставшаяся доля [1 —X2^+1)I2 ...„(/)] спектра выхода представляет собой шум.
Подставляя в (11.4.9) выражения (11.4.8) для частотных характеристик, мы получим другую форму записи квадрата спектра
256
Глава 11
множественной когерентности, аналогичную записи (11.3.1 IJ1 а именно
I Г(<7+1) (?+1) if) I
Ч«+1) 12 ... Q
(/) = 1
г(в+о (?+1) (f) I г,9 (f) I
(11.4.11)
В (11.4.11) r(g+i)(g+i)(f) — спектральная матрица всех (q + 1) переменных, a tqq(f) —спектральная матрица q входных переменных. При q = 2 равенство (11.4.11) запишется, если опустить аргумент /, следующим образом:
у,2 = 1
*312 1
T11 г,2 Г,з
Г22 Г2з
Гз, I 32 Гзз
Гзз г„ г,2
г21 Г22
(11.4.12)
что соответствует выражению (11.3.14). Если разложить определитель в (11.4.12), то получим
Г22|Г3, I2 + Гп I T32 P-2Re [Г,гГ23Г3|] T33 (Г„Г22-|Г12р)
(11.4.13)
где действительную часть
Ке[Г|2Г2зГ31 I = A12A23A13 + A12W23V13 - V12W23A13 + W12W13A23 (11.4.14)
можно выразить через коспектры и квадратурные спектры этих трех процессов.
11.4.3. Взаимные спектры частной когерентности и фазы
Как и в анализе множественной регрессии, полезно знать взаимный спектр выходного и одного из входных процессов после учета влияния остальных входных процессов. Эта задача приводит к понятию взаимного спектра частной корреляции, который является частотным аналогом частного коэффициента корреляции (11.3.21).
Чтобы проиллюстрировать основную идею изложения, предположим, что имеется всего две входные переменные. Обобщая методы разд. 11.3.3, будем считать, что выход X3(t) предсказывается сначала только по прошлым значениям процесса X2(t), что дает остаточную ошибку
со
е3(0 = U3(O — |Л3) — J g32 (") (*2 У - и) - H2) du, и
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed