Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
238
Глава 11
Если матричная ковариационная функция Z(t) имеет вид (11.2.18), то (11.2.19) сводится к
OO
Vx(u)=j h(v)V/h*'(v + u)dv. (11.2.20)
о
Следовательно, этот многомерный процесс является стационарным второго порядка, так как его матричная ковариационная функция зависит только от запаздывания и. Впрочем, для стационарности \(t) нужно, чтобы выполнялось еще одно условие. Поскольку при любом и элементы матрицы Vjc(u) не превосходят по модулю соответствующих диагональных элементов матрицы \х(0), нужно еще потребовать, чтобы (0) была конечной, т. е.
OO
J h(u)Wh*'(y)du<M,
о
где неравенство выполняется для всех элементов матрицы.
Спектральная матрица линейного процесса. Взяв преобразование Фурье от (11.2.19), находим спектральную матрицу линейного процесса (11.2.10)
rx(fHH(-ftrz(f)H"(-fl, (11-2.21)
оо
где H*(f)= j h*{u)el2"f"du.
о
В частном случае, когда матричная ковариационная функция имеет вид (11.2.18), спектральная матрица (11.2.21) переходит в
r*(f) = H(-/)WH*'(-f). (11.2.22)
Пример. Предположим, что
Н(/) = (/2я./1 + АГ\
где А — действительная матрица. Так как для действительной А (и) имеет место равенство Н*(—f) = Н(/), то
Гх (/) = (- /2я/1 + A)-1 W (/2я/1 + А')"
Для случая с двумя входами и двумя выходами, который мы обсуждали выше,
dX2
dt
2Xi "1" "^2 — ^2>
Многомерный спектральный анализ
239
отсюда получаем
H(f) = (/2n/I + A)-' =
i / j2nf + 2
(j2nf + 1) 02л/ + 3) \^ - ± j2nf + 2)
и, следовательно,
i /-j2nf + 2 -2 \
Гх(/)= (-/2л/+1)(-/2л/ + 3) [ -1 -j2nf + 2jX
'j2nf+2
XWX'
2 /2я/ + 2/ О'2*/+»(W + 3) - j2nf + 2 - 2 \
X
+ (2я^][9 + (2я/)2Ц --L -j2nf+2 I i'Znf + 2 - '
XWX
]2nf + 2 2
Если
- 2 j2nf + 2 1 0
w = ,o iy
то это выражение сводится к
8 + (2я/)2 - 5 - /Зя,
гх (/) - [, + (2я/)*] [9 + (2я/)»] [-5 + ?nf ~ + (2я/)2 J '
11.2.5. Многомерные процессы авторегрессии и скользящего среднего
Многомерные процессы авторегрессии и скользящего среднего получаются из линейных процессов, когда матрица откликов на единичный импульс принимает специальную форму. Эти процессы можно выписать, если в их одномерном представлении заменить скаляры на векторы и матрицы. Например, дискретный многомерный процесс авторегрессии получится, если переделать запись (5.2.26) следующим образом:
X,-ji = a(X,_, -n) + Z|. (11.2.23)
Равенство (11.2.23) для случая, скажем, двух переменных можно расписать в виде
Xu -I1i= «ь и (Xu-i - V\) + аи 12 №<-i - Ц2) + Z\t,
X%t — И-2 = а1. 21 (^U-I — Нч) + а1, 22 (Х%-\ — Цг) + %2t-
240
Глава 11
Аналогично, дискретный многомерный процесс скользящего среднего первого порядка имеет вид
X,-|i = Z, + ftZt_„
и в случае двух переменных он записывается в виде равенств
% It ~ I1I = + ?l, \\Z\t-l + ?l. 12^2(-1, %2t ~ М-2 = Z-it + ?i, 21•Zk-I + ?l, 22?-i •
Процессы скользящего среднего. Общий многомерный процесс скользящего среднего можно записать в виде
X, - ц = Z, + ?,Z,_, + . .. + foZ,_,. (11.2.24)
Соответствующую матричную ковариационную функцию можно вычислить с помощью определения (11.2.1)
\x(k)= z 1+A + z (11.2.25)
Процессу (11.2.24) соответствует частотная характеристика H (f) = I + ?,e-/»«f + ... +р<е-/ад
и, следовательно, спектральная матрица
ГЛ (f) = (I + ріЄ/2яг + . . . + ?^/ai'f) W (I + ?;e-''2"f + . .. + ?;'e- ''2^f).
(11.2.26)
Процессы авторегрессии. Общий дискретный многомерный процесс авторегрессии можно записать в виде
Xt-H = O1(X^1-H)+ ... + ат (Х,_га - и) + Z1. (11.2.27)
Его матричная ковариационная функция удовлетворяет разностному уравнению
Vx(fe) = o,Vx(fe- 1)+ + amVx(k-m), k>0.
В частном случае т = 1 это уравнение имеет решение
Vx{k) = a>Vx(0),
так что матричная ковариационная функция легко находится с помощью возведения в степени матрицы <ц. Остается еще вычислить матрицу Vx(O), что можно сделать прямыми методами, проиллюстрированными в примере из разд. 8.1.5.
Рассматривая (11.2.27) как линейную систему с матрицей частотных характеристик
H(Z) = [I-O1O-'2«'- ... -ате-^\~[
Многомерный спектральный анализ
241
и пользуясь равенством (11.2.21), находим спектральную матрицу Tx (/) = [і - ахе™ - ... - ате'2ятП~' X
X W X [I - a[e-w - ... - a'ne-/^mf]-'. (11.2.28)
Аналогично матричная ковариационная функция непрерывного процесса авторегрессии
8«-?^+ ... +a0X(*) = Z(0 (11.2.29)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
аот dum + ... +a0V(«) = 0.
Пусть, например, m = 1 и am = I. Тогда
V(«) = e-a»«V (0).
Спектральную матрицу, соответствующую процессу (11.2.29), можно получить, рассматривая его как линейную систему с матрицей частотных характеристик
Н(/) = [ат(/2я/Г+ ... +а01]-'.
Смешанные процессы. Еще более общим является многомерный смешанный процесс авторегрессии — скользящего среднего
X1-VL^a1(Xt-i-P)+ +«m(X,_m-fi) + Z, + ?1Z,_1 + ... +?,Z,_,.
(11.2.30)
С помощью модели (11.2.30) можно получать разнообразные матричные ковариационные функции. Поэтому эта модель является мощным средством для описания многомерных временных рядов.
