Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
M/)= fyti{ii)e-P*f*du.
— OO
Автоспектр комплексного процесса является действительной и неотрицательной функцией, но она не является, вообще говоря, четной, и, следовательно, ее нельзя записать в виде косинус-преобразования от ковариационной функции на полуоси в силу свойства (11.1.30). Для действительных процессов такое представление автоспектра в виде косинус-преобразования (7.1.3) имеет место в силу свойства (11.1.31).
Взаимный спектр двух комплексных процессов обладает теми же свойствами, что и взаимный спектр двух действительных процессов (эти свойства указаны в разд. 8.3.3).
11.2. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В этом разделе с помощью теории матриц выводятся основные свойства многомерных случайных процессов. В результате понятия, введенные в гл. 8—10, приобретают большую общность. Мы увидим, что при рассмотрении более чем двух процессов появляются новые и интересные особенности.
11.2.1. Матричная ковариационная функция
Действительные процессы. В разд. 8.1.2 было показано, что два стационарных случайных процесса удобно описывать во временной области с помощью их авто- и взаимной ковариационных функций. Предположим теперь, что требуется описать действительный многомерный случайный процесс, т. е. векторный процесс
Х'(0-(*і (/), X2(t), .... Xq(t)),
компоненты которого являются одномерными процессами. Если ограничиться свойствами, зависящими от моментов второго порядка,
Многомерный спектральный анализ
231
то многомерный процесс можно описать матричной функцией, определяемой для каждого значения запаздывания и соотношением
W(U) = E [(X (t) - ix) (X (t + и) - р.)'] = Yn (") Yi2(") ... Yi9 (") Y21 (и) Y22 (") • Y2, (и)
Y4I (") Y42H ••• \qq(u)
(11,2.1)
Матричная функция V(и), —со со, называется матричной ко-
вариационной функцией (lagged covariance matrix) многомерного случайного процесса. Так как уц(и), вообще говоря, не равно уц(и), матрица V(и) в общем случае несимметрична. Однако она удовлетворяет соотношению *)
так как
У (и) = V (-и),
V(U) = E [(X (t + u)- м-) (X (t) - p.)'] = V (- и).
(11.2.2)
Комплексные процессы. Матричная ковариационная функция комплексного многомерного случайного процесса определяется соотношением
W(U) = E [(X (/) - ц) (X (t + u)- їх)''}.
Ее элементы такие же, как и у матрицы (11.2.1), но комплексные ковариации определяются равенствами
уа (и) = E [(X1 (t) - Ii1) (X1 (t + u)- ц,у].
Другой способ представления вторых моментов многомерного процесса состоит в том, что задаются таблицы каждой авто- и взаимной ковариационной функции. Для наглядности предпочтительно иметь графики отдельных авто- и взаимных ковариационных функций.
Матричная корреляционная функция. Для многих практических целей и, в частности, для анализа временных рядов с различными масштабами измерения удобнее работать с матричной корреляционной функцией, СОСТОЯЩеЙ ИЗ Корреляций PtJ (и).
"> В (11.2.2) и далее У (и) означает транспонированную матрицу V(«).-— Прим. перев.
232
Глава 11
11.2.2. Спектральная матрица
Далее мы всюду будем считать, что каждый отдельный процесс, входящий в многомерный процесс, является комплексным. Как показано в разд. 11.1.3, каждой паре процессов соответствует взаимный спектр, определяемый равенством
Г,-,(/)= j у а (и) е'^ du.
— OO
Обратное (11.2.3) преобразование имеет вид
оо
Yn(")= j Ta(f)e'^df.
— OO
Состоящая из авто- и взаимных спектров матрица
г„(/) Г12(Л ••• r„(f)
Г2, (/) Г22(/) ... T2q(f)
(11.2.3)
(11.2.4)
Г(/)<
r„tf) T92 (/) ... Г„(/) j
(11.2.5)
называется спектральной матрицей случайного многомерного процесса.
Свойства эрмитовости и положительной полуопределенности.
Сейчас мы выведем очень важное свойство, которым обладает спектральная матрица. Это свойство заключается в том, что авто-и взаимные спектры должны удовлетворять некоторым совместным ограничениям.
Поступая так же, как и в разд. 6.2.1 при введении автоспектра, определим комплексный случайный процесс Y(t), являющийся линейной комбинацией q отдельных случайных процессов, а именно
Y (O = Г X (t) = k*X\ (t) + Х'2Х2 (t)+ ... + X4X q (t),
где Xi — произвольные комплексные константы. Тогда автоковариационная функция процесса Y(t) равна
Ууу (и) = E {(Y (/) - VLy) (Y (t + u)~ ну)'] =
= E [Г (X (t) - ц) (X (t + и)- и.)*' Л] =
= VV(U)X. (11.2.6)
Взяв преобразование Фурье от (11.2.6) и используя равенство (11.2.4), автоспектр процесса Y(t) можно выразить через спект-
Многомерный спектральный анализ
233
ральную матрицу многомерного процесса. В результате получим
Tyy(f) = r'T(f)l. (11.2.7)
Так как Tn, (Z) — действительная скалярная функция, то Tyy(f) = = TJy (Z) = Пт (Z)- Поэтому из (11.2.7) следует, что
П'И/) = (Г'Г (/)Х)*' =
= (хт* (Z) X*)' =
= x-T'(Z)X = ryK(Z) = x*'r(Z)X.
Таким образом, имеем
Г (Z) = Г'(Z), (11.2.8)
так что спектральная матрица — эрмитова, т. е.
rl7(Z)=r;,-(/).
Кроме того, так как квадратичная форма (11.2.7) неотрицательна при всех значениях К, то T(Z) —эрмитова, положительно полуопределенная матрица. Это значит, что любой главный минор T(Z) неотрицателен. Например, при а = 2 мы имеем
