Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
>0,
\2(f) ¦v(f), T22(Z)
откуда следует, что квадрат коэффициента когерентности удовлетворяет неравенствам
u «I2W Tn(Z)T22(Z)
Аналогично, при q = 3 получаем
T11(Z) r12(Z) T13(Z)
< і.
T21(Z) T22(Z) T23(Z) T31(Z) T32(Z) T33(Z)
>0.
(11.2.9)
В разд. 11.3 будет показано, что, пользуясь (11.2.9), можно определить квадрат множественного коэффициента когерентности x223 (Z), такого, что
0<x223 (Z)<l.
11.2.3. Многомерные линейные системы
В разд. 10.3 была описана методика оценивания частотной характеристики системы, имеющей один вход и один выход. В общем случае физическая система имеет несколько входов и несколько
234
Глава Il
выходов. Например, на рис. 11.1 приведены участки некоторых непрерывных записей, соответствующих двум входам и двум выходам турбогенератора. Теперь мы покажем, что многомерную линейную систему во временной области можно описать матрицей откликов
Рис. 11.1. Входные и выходные процессы 50-мегаваттного турбогенератора.
на единичный импульс, а в частотной — матрицей частотных характеристик.
Матрица откликов на единичный импульс. Если многомерная система является линейной, то любой ее выход представляет собой сумму вкладов от q входных переменных, т. е.
OO
(O - P-X4. = j A<i (и) [Z1 (/ - и) - du + ...
О оо
... + \ hlq {u) [Zq (г - ы) - nzJ du.
о
Многомерный спектральный анализ
235
Полный отклик системы, состоящий из Г ВЫХОДОВ Xi(t), і = q+ 1,. .. ..., q + г, можно записать в матричном виде следующим образом:
OO
Х(/)-Ц*= J h(w)[Z(г-и)-Md«, (11.2.10)
где матрица откликов на единичный импульс п(ц) задается соотношением
Л(„+і)і(и) А(,+1)2(ы) ... hiq+l)q{u)'
h(u) =
/2(,+2) l(") Л(?+2)2(и) ... h(q+2)q(u)
Л(,+г)і(и) h(q+r)2{u) ... h(q+r)q(u)
(11.2.11)
Пример. Рассмотрим общую многомерную систему, которая в двумерном случае имеет вид (8.1.17),
^- + AX(Z) = Z(O-
Эта система имеет следующую матрицу откликов на единичный импульс:
h(u) = B'e-uS. Например, в двумерном случае, когда
dX,
і
dt ' —> +~2 dX2 dt
2J1 + Y X2 — Z1, h 2J1+2J2 = Z2,
матрица откликов на единичный импульс равна
у(е-"+е-3") -(е-»-<
h(«) = l
-Зи
1
(е-«_е-3«) '(е-« + е-Зв)
(11.2.12)
Матрица частотных характеристик. Другой способ описания многомерной системы состоит в задании матрицы частотных характеристик, т. е. матрицы, элементы которой являются преобразованиями Фурье от элементов матрицы откликов на единичный импульс, а именно
Нп№=\ H11(U)е-W du.
236
Глава 11
Таким образом, матрицу частотных характеристик можно записать в виде
OO
Н(/)= J h(u)e~i2n^du. (11.2.13)
о
Взяв преобразование Фурье от (11.2.10), мы находим, что спектральные амплитуды выходов на частоте f можно получить из равенства
X (/) = H(/)Z (f), (11.2.14)
которое является матричным аналогом равенства (2.3.23). Например, для двух выходов и трех входов из (11.2.14) получаем
Z4 (!) = H41 (f) Z1 (f) + H42 (f) Z2 (f) + H43 (f) Z3 (/), Z5 (f) = H51 (f) Z1 (f) + H52 (f) Z2 (/) + H53 (f) Z3 (Z).
В частном случае, когда на входы подается комплексный сигнал exp (j2nft), отклик г'-го выхода равен
^< (О = [Я„ (Z)+ //„(/)+ ... +Hlq(f)]eW*. (11.2.15)
Для всей системы равенства (11.2.15) можно записать в матричном виде
Х(г) = Н(/)1е^ (11.2.16)
где 1 — вектор, целиком состоящий из единиц.
Из (11.2.14) можно получить полную частотную характеристику системы на данной частоте. Таким образом, полные функции усиления равны
GtU) = [G2U (!)+ ... +Glq(f)]\ а полные фазовые сдвиги равны
Ф»(/) = Фл(Я + Фи(/) + ••• +Ф<,(/)-
Пример. Рассмотрим многомерную систему
¦? + AX = Z.
Ее матрица частотных характеристик равна
H(f) = 0"2n/I+А)"'. (11.2.17)
где I — единичная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах — нули.
Для обсуждавшейся выше системы второго порядка
-^- + 2Z1 + 2"Z2 = Z1, ^f- + 2Z1 +2Z2 = Z2
Многомерный спектральный анализ
237
мы имеем H(Z)
j2nf + 2
2 j2nf+2 1
CM + 2)2
1
/
j2nf + 2
/2л/ + 2 - 2 -2
(/2nf + 3) (/2я/ + 1) _ _1_
_2
(;2я/ + 3) (/2я/+ 1)
2 , 2
(/2л/ + 3) (finf + 1)
i2nf + 2 (/2л/+ 3) (/2я/ + 1)
- 1 1
/2я/ + 1
_ J_ 4
/2л/ + 3 4
/2я/ + 1 2
/2я/ + 3 J_ 2
/2я/ + 1 ~ /2л/ + 3 /2л/ + 1 1 /2л/ + 3
Взяв обратное преобразование Фурье от этого выражения, получаем уже упоминавшуюся выше формулу (11.2.12)
h(u) =
j(e-" + e-3u) ~(e-»
-ЗіЛ
-j(e~"-e-3u) j(e-u + e~3u)i
11.2.4. Многомерные линейные процессы
Стационарность. Если входы Zi (t) в (11.2.10) представляют собой набор белых шумов, то модель (11.2.10) определяет многомерный линейный процесс. Для полной общности предполагается, что эти белые шумы коррелированы в одинаковые моменты времени, а в остальные моменты некоррелированы. Таким образом,
COv[Zi(O, zk(f)] = wtk6(t-n.
Отсюда матричная ковариационная функция белых шумов имеет вид
Vz(«) = W6(h). (11.2.18)
С помощью (11.2.10) находим матричную ковариационную функцию процесса X(Z):
Vx (и) = Cov [Х(0, X*'(* + «)] =
OO OO
= f J h(o)Cov[Z(f-i>), Z,f{t + u-s)]h*'(s)dvds. (11.2.19) о* о
