Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
9*
260
Глава II
Эти уравнения можно записать в виде одного матричного уравнения
OO
V,r(«)= I \qq(u-v)h'(v)dv, (11.4.24)
— OO
где Ygr(") — матричная взаимная ковариационная функция между q входами и г выходами, h(u) —матрица откликов на единичный импульс и y<?<7 — матричная ковариационная функция входов.
Взяв преобразования Фурье от (11.4.23), получаем оценочные уравнения для частотных характеристик
r(,+ft,tf) = r„(flH(,+fc)tf), k=l,2,...,r. (11.4.25)
Как и (11.4.23), уравнения (11.4.25) можно записать в виде одного матричного уравнения
IVtf) = r„(/)H'tf). (11.4.26)
Спектральная матрица остаточных ошибок. Кроме оценивания матрицы частотных характеристик, нужно еще охарактеризовать свойства шума. Для этой цели вычисляется спектральная матрица Tzz остаточных ошибок, или шума, элементами которой служат авто- и взаимные спектры Tki(f) процессов Z]1(V) и Z1(V). Действуя так же, как и в разд. 11.3.4, находим корреляционные функции
оо
Yz^M = Y,,+«<,+»(")- J h{q+k)My(Q+i)M-v)dv- ...
— OO
OO
••• - I h[q+k)q(v)\{q+l)q(u-v)dv. (11.4.27)
— OO
Взяв преобразования Фурье от (11.4.27), получаем авто- и взаимные спектры
^z11Z1 (f) = Г(<7 + *) (q + l) (f) — H(q + k) 1 (f) T^ + I) 1 (f) ~ ...
••• -H(q+k)q(f)Tiq+l)q(f). (11.4.28)
Равенства (11.4.28) можно объединить в одно матричное равенство
T'zz(f) = Г[,+г) (,+г) (/) - H (f) Г;г (/), (11.4.29)
Отметим, что с помощью равенства (11.4.29) можно вычислить спектральную матрицу остаточного шума, если известны матрица частотных характеристик Н(/), теоретическая спектральная матрица T(q+r)(q+r)(f) всех переменных и теоретическая спектральная матрица взаимных корреляций входов и выходов rqr(f). Соответствующая задача оценивания рассматривается в разд. 11.4.6.
Многомерный спектральный анализ 261
11.4.5. Оценивание многомерных спектров
В разд. 11.4.2 п 11.4.3 было показано, как вычислить спектры множественной и частной когерентностей, зная авто- и взаимные спектры входов и выходов. В этом разделе мы рассмотрим задачу оценивания этих спектров по записям конечной длины. Метод представляет собой непосредственное обобщение метода, использованного в разд. 9.3.1. Поэтому детали будут опущены.
Оценивание множественной когерентности. По определению (11.4.11) квадрат множественной когерентности выражается через авто- и взаимные спектры. Случайная величина, соответствующая выборочной оценке множественной когерентности, получается при замене теоретических спектров их сглаженными оценками. Например, при q = 2 сглаженная оценка множественной когерентности равна
/^3J2 (Z) = ^221 Є'312 + Сц I C23 I2 — 2Re [С 12C23C3I] (11 4 30) C33 (СцС22 — I C1212)
где
Re [С|2С2зС31] = L12L23L13 + Li2Q2sQi3 ~ QuQtaLu + Qi2Q13^s-
Так как оценка (11.4.30) является функцией от оценок авто- и взаимных спектров, ее дисперсию можно вычислить с помощью метода разд. 3.2.5 и формулы (П9.1.28). В результате получим
CoV[C^f1), QHZ1)] - г„(Z1)I^(Z1)-L. (п.4.31)
Действуя так же, как и в разд. 9.2.2, находим окончательный результат
Var[^12]-^4x212(l-xy2,
что совпадает с формулой (9.2.19) для дисперсии оценки обычной когерентности J(2l2_ В разд. 11.4.6 мы выведем для ^12 подходящее, распределение, рассматривая задачу оценивания множественной когерентности как задачу множественной регрессии в частотной области.
Оценивание частной когерентности и частной фазы. Сглаженные оценки спектров взаимной частной когерентности и фазы получаются при подстановке в (11.4.17) вместо теоретических спектров их сглаженных оценок и последующем взятии квадрата модуля и аргумента. Например, при q = 2 сглаженные оценки двух
262
Глава II
частных когерентностеи можно получить, подставляя сглаженную
~2 в (11.4.18):
оценку множественной когерентности д^312
2
\Ч12
1-К
231 Г
1
¦*?з
1 — к\3 I 2 —
1-Ш
(11.4.32)
Аналогично получаем сглаженные оценки спектров частной фазы
F1312 = arctg [ - g12i23 - gl3g221 , (11.4.33)
L ^12^23 "+ Ql2Q2S ~ ^13^22 J
f23|, = arctg [ ^43 + - M»l. (11.4.34)
11.4.6. Оценивание многомерных частотных характеристик
В этом разделе мы покажем, как оценить частотные характеристики модели (11.4.1) и вывести доверительные области для функций усиления и фазы. Эти результаты будут получены с помощью простого распространения результатов разд. 10.3.3 на многомерный случай.
Выборочные оценки, получаемые из выборочных спектров.
Рассмотрим, как мы это делали и раньше, случайную функцию, являющуюся преобразованием Фурье от отрезка случайного процесса:
т
X1(I)- j X1 (t)e-Wdt.
о
Взяв преобразование Фурье от (11.4.1) и предполагая, что функции отклика на единичный импульс /і(?+і)г(") убывают почти до нуля за достаточно малое по сравнению с длиной записи время, найдем преобразование Фурье от выхода
+ + I (/)*•(/)+ ••• + + ,(/)*,(/) + Ziq + 1){f).
(11.4.35)
Как и в разд. 10.3.1, оценки наименьших квадратов для функций отклика на единичный импульс можно получить, заменяя в (11.4.7) теоретические авто- и взаимные корреляции на их оценки. В результате получим
