Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
oo
#2 = j" А (и) X1 (t — и) du,
о
так что xz(t) легко предсказать по X\(t) (этот вопрос кратко обсуждался в разд. 5.1.5). Эта и следующая за ней главы посвящены рядам, находящимся в одинаковом положении по отношению друг к другу. Причинно связанные ряды обсуждаются в гл. 10.
80
Глава 8
8.1.2. Взаимная ковариационная и взаимная корреляционная функции
Так же, как и в одномерном случае в гл. 5, полезное средство описания пары случайных процессов дают их младшие моменты. Как и раньше, наблюденный двумерный временной ряд {Xi(t), X2(O) рассматривается как реализация двумерного случайного процесса {Xi(t), X2(t)}. Четыре случайные величины X1(Z)1 X2(t), Xi(t + и), X2(t + и) в моменты времени t и t + и будут иметь совместную плотность вероятности, которую можно описать (хотя и неполностью) ее моментами первого и второго порядков. Если предположить, что процессы стационарны, то эти моменты будут зависеть лишь от разности моментов времени и и не будут зависеть от /. Таким образом, первые моменты будут равны
E [X1V)] = ц„ і =1,2.
Они не зависят от времени t. Вторыми моментами совместной плотности вероятности будут автоковариационные функции
yXiXi{u) = El[X1(I) -[X1)(X1 (t + u) yXtX,{u) = E[(X2(t)-n2){X2(t + u)
и взаимные ковариационные функции
VXiX,(u) = E[(X1V)-H1)(X2V+ и) уХгХі(и) = Е[(Х2(і)-і^) (Xt(t+ и)
Функция Vx1X, (") называется взаимной ковариационной функцией, зависящей от запаздывания и, причем процесс Xi(t) запаздывает относительно процесса X2(t). Аналогично ухх (и) называется взаимной ковариационной функцией для запаздывания процесса X2(t) относительно процесса Xt(t). В тех случаях, когда нет никакого риска спутать обозначения, мы будем записывать функции yXlXi(u), Yx2X2 (")> ("). Y^2X1 более простыми обозначениями у и (и), у22(и), у\2(и), y2i(u).
Свойства ковариационных функций. Автоковариационнме функции действительного двумерного процесса обладают теми же самыми свойствами, что и ковариационная функция одномерного процесса, т. е.
Y (0) = Var [*,(*)] = о-2, 1 " / \ г '=1, 2. (8.1.2)
Vu («) = Vu (—и), і
Таким образом, уц(и) являются четными функциями запаздывания и.
¦Ні)]. •М-г)]
¦п.)].
(8.1.1)
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
81
Взаимная ковариационная функция двух действительных процессов имеет следующее свойство:
Yi2 (") = Y21 (— "). (8-1.3)
так как
Y12 (и) = E [(X1 (0 - [x1) (X2 (t+ и)- ц2)] = E [(X і V-u)-V1) (X2 (t) - ц2)] = = E [(X2 (0 - ц2) (Z1 H-u)- Ii1)] = Y21 (- и).
Аналогично = Y12(—и). Таким образом, ковариацию двух
случайных процессов можно описать одной взаимной ковариационной функцией Yi2("), где —оо-<и^соо. Отметим, что, в то время как автоковариационная функция является четной, взаимная ковариационная функция в общем случае не будет четной функцией.
Взаимная корреляционная функция. В общем случае приходится изучать взаимодействие двух процессов с различными масштабами измерения, или с различными дисперсиями. В таком случае необходимо определить взаимную корреляционную функцию
р„(и) = _^-Y»W-= iu^l . (8.1.4)
V Yn (O)Y22(O) а{ог У '
Первое ее свойство заключается в том, что
|р12(«)1<1.
Это следует из того, что дисперсия случайной величины
K(O = A1^1 (0 + A2Z2 (t + u) неотрицательна. Второе свойство состоит в том, что
Pia(") = Р21 (— ")•
Это следует из (8.1.3).
Взаимная корреляционная функция подобно ковариационной не является в общем случае четной функцией. Рассмотрим, например, на рис. 8.4 выборочную взаимную корреляционную функцию данных о газовой печи, приведенных на рис. 8.3. Эта функция имеет большой пик при и — 5 и явно несимметрична относительно и = 0. Отметим также, что большинство взаимных корреляций положительно. Это объясняется тем, что увеличение скорости впуска газа приводит к увеличению концентрации на выходе и наоборот.
Самый тривиальный случай взаимной корреляции двух случайных процессов имеет место, когда взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю для всех запаздываний. Отсюда следует, что такие процессы полностью некоррелированы.
82
Гяава S
Если в дополнение к этому процессы {Xi((), X2(O) нормальные, то они будут также и независимыми, как показано в гл. 3.
Другой простой случай взаимной корреляции имеет место, когда ріг(и) отлична от нуля при и = 0 и равна нулю для остальных запаздываний. Отсюда следует, что у этих случайных про-
P н с. 8.4. Выборочная взаимная корреляционная функция для данных о газовой
печи.
цессов коррелированы только одновременные значения. Более общие модели взаимной корреляции двух случайных процессов будут приведены в разд. 8.1.3 и 8.1.4.
8.1.3. Взаимная корреляционная функция линейного процесса
Один из простейших способов, которыми может осуществляться корреляция двух случайных процессов {Xi(t), X2(t)}, имеет место тогда, когда X1It)—вход линейной системы, a X2(t) состоит из выхода этой системы и шума, т. е.
X2 (O=Ja (") *i (t-u)du + Z (t).
(8.1.5)
Для дискретного времени соответствующая модель имеет вид
OO
X21 = 2 hrXu-r + Zt. (8.1.6)
Пример 1. Как частный случай процесса (8.1.6) рассмотрим простую модель регрессии (4.3.5), которая в наших новых обозначениях имеет вид
