Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Важность БПФ для спектрального анализа заключается в том,
Примеры одномерного спектрального анализа
69
что теперь оказалось быстрее вычислять выборочный спектр прямо с помощью БПФ и затем сглаживать его, чем вычислять корреляционную функцию, сглаживать ее корреляционным окном и затем, наконец, брать ее преобразование Фурье. Несмотря на эти вычислительные преимущества, мы не считаем, что доводы за использование БПФ в спектральном анализе столь же сильны, как в анализе Фурье, по следующим причинам.
1. По опыту авторов быстродействующие вычислительные машины, имеющиеся в настоящее время, вполне удовлетворяют требованиям спектрального анализа и даже перекрывают их. Сейчас наши вычислительные возможности намного превосходят нашу способность правильно истолковать практические данные.
2. Мы рассматриваем корреляционную функцию как очень ценную промежуточную ступень спектрального анализа*). Графики корреляционных функций исходного ряда и ряда из его первых разностей нужны для того, чтобы решить:
а) необходимо ли брать разности или нет,
б) где выбрать подходящие точки отсечения,
в) какая требуется величина выравнивания при анализе взаимной корреляции двух рядов.
Описание алгоритма быстрого преобразования Фурье. Полное описание БПФ приведено в'[2]**), а история его открытия и повторного открытия изложена в [3]. Эти статьи входят в специальный выпуск журнала [4], где помещены также статьи об использовании БПФ при вычислении некоторых других преобразований [5, 6]. Мы будем следовать изложению [2].
Предположим, что требуется найти преобразование Фурье Xm, m = О, 1, . . ., N — 1, ряда X1, і = 1, 2, . . ., N, где N — четное. Один из способов [6] заключается в расщеплении ряда xt на два вспомогательных ряда yt и г(, где
Dt = x2t-b
zt = x2U 1, 2, -у. (П7.3.1)
*) Следует отметить, что корреляционную функцию также можно вычислять с помощью БПФ гораздо быстрее, чем прямым методом. Для этого нужно 1) вычислить с помощью БПФ коэффициенты Фурье исходного ряда, 2) снова с помощью БПФ вычислить преобразование Фурье от квадратов модулей этих коэффициентов и 3) пронормировать результат нужным образом,— Прим. перев.
**) См. также Б. М. H а й м а р к, Г. А. П о г р е б и н с к и й, Е. Л. Резников, Практические методы преобразования Фурье. Теоретическая и вычислительная геофизика, M., изд-во «Наука», 1971, где БПФ скомбинировано с методом Филона для вычисления интеграла Фурье, что позволяет увеличить интервал отсчета Д и сэкономить время вычислений. — Прим. перев.
70
Г лава 7
Каждый из рядов уи Z1 содержит N/2 членов, и преобразования Фурье этих рядов имеют вид
N12
NIl
1N1I (П7.3.2)
-/ (Шт/N)
где верхний индекс преобразованных величин указывает число членов ряда, которое совпадает с числом членов преобразования.
Величины Хт\ Y{m'2\ Zm'2) связаны следующими соотношениями:
N12
І &nm/N) 2 Л _
W2 N/2
<=1 *=1
+ 0<т<4-1. (П7.3.3)
Кроме того,
так что
v(JV/2) V(W2)
І/» + И = 'т ,
7(JV/2) _ 7(W2) О <" m <Г- ^ 1
_ e/(WW(m + W2) vW2) , Лт+{М2)--2- m ' "2" =
= -^^гГ + ^Г, 0<m<4-l. (П7.3.4)
Следовательно, окончательный результат равенств (П7.3.3) и (П7.3.4) имеет вид
yW)_ e'{2nm/N) yjN/2) , 1 7(W2)
Лт--2 m 2 '
<m e1 Itom/N) . аг (П7.3.5) *
y(W _ __y{N/2) і 1 7(iV/2) p. ^ " 1
4m+(/V/2) — ~~'--2- m "^t m ' "^m^"2--'
и мы видим, что преобразование Фурье ряда xt легко получить из преобразований Фурье вспомогательных рядов //( и zt. Подобным же образом при четном N/2 можно расщепить каждый из рядов yt и Zt на два ряда у'{, у" и г\, г" соответственно и вы-
Примеры одномерного спектрального анализа
71
вести соответствующий вариант формулы (П7.3.5), который выразит преобразования Y^J2) и Z™/2) через преобразования рядов длиной Л74.
Для рядов длины N = 2A эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока расщепление не приведет к рядам, состоящим из одного члена; в этом случае преобразование Фурье этого члена совпадает с ним самим. В случае если N не равно степени двойки, расщепление на два ряда продолжается до тех пор, пока либо легко взять преобразование Фурье вспомогательного ряда, либо пока не встретится новый множитель N, скажем 3. Процедура при этом остается той же самой, что и выше, с той лишь разницей, что очередной вспомогательный ряд расщепляется на три ряда. Подробности приведены в [2]. Ниже разобран пример.
Пример. Рассмотрим ионосферные данные из гл. 2, где п = 12 = 22-3. Данные таковы:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xt -6 -20 -28 -8 -I 7 -20 -6 -7 14 19 12
Расщепление на два дает следующие ряды:
t 1 2 3 4 5 6
IJl -28 -1 -20 -7 19
2( -20 -8 7 -6 14 12
Расщепление yt и zt на два дает ряды
1 2 3
/ Vt -6 -1 -7
z't -28 -20 19
/г Vt -20 7 14
гг zt -8 -6 12
72
Г лава 7
Преобразование Фурье рядов y't, z't, у", z" уже нетрудно вычислить. Каждое из них состоит из трех членов, как показано ниже.
Значение преобразования Фурье Номер гармоники т
0 1 J 2
