Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 2" -> 31

Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 2 — М.: Мир, 1972. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt21972.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 85 >> Следующая

CXlXAf)=XUf)TX2{f) . (8.3.3)
где звездочка ' обозначает комплексное сопряжение. Подставив (8.3.2) в (8.3.3), мы находим, что выборочный взаимный спектр двух косинусоидальных волн равен
x(^[j!=5№]+^*[jsf№]}- <8-3-4>
что при Т—> оо стремится к
{ A1A2 [е-/«й-ф,»б (/ + /0) + е<^-^0 (! - /0]. (8.3.5)
Определение (8.3.3) является естественным, так как оно содержит всю информацию о зависимости двух сигналов. В частном случае косинусоидальных волн равенство (8.3.5) показывает, что эта информация состоит из разности фаз ср2 — фі, показывающей, насколько одна из косинусоидальных волн опережает другую, и взаимной амплитуды A1A2, показывающей, как велики на данной частоте соответствующие амплитуды в двух сигналах.
Выборочный фазовый и выборочный взаимный амплитудный
СПеКТрЫ. В более Общем Случае ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО Xi (t), Jf2 (/) —
произвольные действительные сигналы с преобразованиями Фурье *i(/), -Y2(Z) соответственно. Эти преобразования дают амплитудное и фазовое распределение сигналов, т. е.
X1[J) = AAft eiFi{f\ »=1,2, (8.3.6)
4*
100
Глава 8
где Ai(f)—неотрицательная четная функция и Fi(f)—нечетная функция. Согласно (8.3.3), выборочный взаимный спектр в этом случае будет равен
_ A1(D A2(f) ei IFt(D-FAIn T
(8.3.7)
что можно записать также в виде
C12(Z) = A I2(/V'^<f>.
(8.3.8)
Следовательно, ковариацию двух рядов xx(t) и x2(t) можно описать с помощью выборочного фазового спектра
F12 (Z) = F2 (f) - F1 (/) и выборочного взаимного амплитудного спектра
(8.3.9) (8.3.10)
Выборочный фазовый спектр Fi2(f) показывает, запаздывает или опережает частотная компонента одного ряда компоненту другого ряда на той же частоте. Аналогично, выборочный взаимный амплитудный спектр A\2(f) показывает, насколько велики в двух рядах амплитуды соответствующих компонент на некоторой частоте. Заметим, что A12(Z)—неотрицательная четная функция, a Fi2(Z) —нечетная функция частоты.
Выборочный коспектр и квадратурный спектр. Так как функция C42 (Z) из (8.3.8) является комплексно-значной, ее можно записать в виде произведения амплитудной и фазовой функций, как в (8.3.7). Выражение (8.3.8) можно записать и в другом виде, выделив вещественную и мнимую части:
C12 (Z) = L12(Z) -/Q12(Z)1
где
L12 (Z) = A12 (Z) cos F12 (Z), Q12 (Z) = - A12 (Z) sin F12 (Z) A2 (f) = L% (/) + <% if), F12 (Z) = arctg [ - -?^].
(8.3.11)
Отметим, что Z-i2(Z) —четная, a Qi2(Z) — нечетная функция частоты из-за того, что A42(Z) — четная, a Fi2(Z)—нечетная функция. Для иллюстрации рассмотрим приводившийся выше пример с двумерной косинусоидальной волной.
Можно показать, что в пределе при 7—>¦ оо
A1A2
L12(I)
cos (ф2-ф1) [б (Z+ Z0)+6 (Z-Zo)]
__ ^A1 cos ер,/I2coscp2 _|_ A1 sin фіЛ2 sin ср2 j ^ ^
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
101
Так как сигналы xt(t) можно записать в виде
Xx (t) = A1 cos (2nf0t + ф,) = (A1 cos ф,) cos 2nf0t — (Ax sin ф,) sin 2nf0t,
X2 (t) = A2 cos (2nfut + ф2) = (A2 cos ф2) cos 2nfQt — (A2 sin ф2) sin 2nfQt,
то, следовательно, Lt2(Z) состоит из ковариации двух ко.синусои-дальных компонент и ковариации двух синусоидальных компонент, т. е. Li2(Z) измеряет ковариацию синфазных компонент. Поэтому функция L]2 (Z) называется выборочным синфазным спектром, или выборочным коспектром. Аналогично, функция
Q12 (/) = ^Ф- (Ф2 - Ф,) [б (/ + Zo) +6(/- Zo)] =
Ax cos фіA2 sin ф2 Ax sin IfxA2 cos ф2
) [6(/+/0) + 6(/-/0)]
состоит из ковариации между синусоидальными и косинусоидаль-ными компонентами, т. е. между компонентами, сдвинутыми по фазе, или квадратурными. Поэтому Qi2(Z) называется выборочным квадратурным спектром. Аналогичным образом, для произвольных сигналов Xi(t), x2(t) преобразования Фурье
L12(O = Л12(/)соз Fi2(Z)
Qi2 (Z) = A2(Z) sin Fx2(f)
служат мерами ковариации соответственно синфазных и квадратурных компонент на частоте /.
8.3.2. Соотношение между выборочным взаимным спектром и выборочной взаимной ковариационной функцией
В гл. 6 было показано, что выборочная автоковариационная функция и выборочный спектр связаны между собой преобразованием Фурье (6.1.9). В этом разделе мы обобщим формулу (6.1.9) и покажем, что выборочная взаимная ковариационная функция и выборочный взаимный спектр точно так же образуют пару преобразований Фурье.
Из определения (8.3.3) выборочного взаимного спектра имеем
Т/2 Т/2
С,2(/) = у-XUf)X2(/) = 4" J J xx(t)x2(tf)e-^f^dtdt\
-Т/2 -Т/2
Заменяя переменные интегрирования t' — t = и, t = v и действуя дальше так же, как в разд. 6.1.3, мы получаем
т
Ci2 (/) = '/ сх2 (") e~mi" du, (8.3.12)

102
Г лава 8
Таким образом, выборочный взаимный спектр является преобразованием Фурье от выборочной взаимной ковариационной функции, определяемой соотношениями
Т/2-и
Ci2(U) = J- J" X1V)x2(t+ и)dt, 0<«<7\
-Т/2 Т/2
c12(u) = T J X1V)X2V+ и) dt, -Г<«<0, (8.3.13)
-T/2+U
C12 (и) = 0, |и|>7\
Обратным по отношению к преобразованию (8.3.12) является преобразование
OO
с12(«)= \ C12(De™» df. (8.3.14)
— со
Подставляя (8.3.11) в (8.3.14), получаем важное равенство
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed