Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Y12 (0) = OnO21Yi і (°) + «!гаггY22 (0) + (а, ,а22 + Ct12Ct21) Yi 2 (0) + (T12,
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
89
где a] = E\Z]t\, a\=E[Z\t\ и O12 = E[Z uZ2t\. Значения Yn(O)1 Yi2(O) и Y22(O) можно при этом выразить через известные параметры atj, о'\, о\ и (J12, решая приведенные выше уравнения.
Пример 1. С помощью двух, независимых множеств случайных нормальных чисел Zit, для которых выполняются условия
4,0 -
г,о о
~2,0 -4,0 X
Рю0<)
Рис. 8.6. Реализация и теоретическая взаимная корреляционная функция двумерного процесса авторегрессии.
E[Zu] = O, E[Zu Z2t] = 0, Var [Zu] = 1, была получена состоящая из N = 100 членам реализация процесса
Xn = 0,6XIf _, — 0,5?-, + Zu,
X2t = 0,4X1,-, + 0,5?-, + Zn. (й- l-2u)
Значения этого двумерного ряда приведены в Приложении П8.1 и построены на рис. 8.6, где видно, что строение обоих рядов аналогично. Так, оба ряда имеют, как правило, одинаковые знаки, и за пиком или впадиной процесса Хи через одно или два наблюдения обычно следует пик или соответственно впадина процесса X2t- Чтобы объяснить такое поведение, необходимо вычислить авто- и взаимные корреляционные функции этого двумерного процесса. С помощью описанной выше процедуры получаем рекуррентные соотношения для ковариации:
Y11 (^) == 0,6Yi1 — 1) — — 1),
Y12 (k) = 0,4Y11 (й - 1) + 0,5Yl2 (k— 1),
Y21 (k) = 0,6Y21 (* - 1) - 0,5Y22 (k - 1), k -"
Y22 (k) = 0,4y2l (k - 1) + 0,5Y22 [k — 1),
90
Глава 8
причем
0,64у„ (0) - 0,25y22 (0) + 0,6y,2 (0) = 1, - 0,16Y„ (0) + 0,75Y22 (0) - 0,4Yl2 (0) = 1, 0,24yu (0) - 0,25y22 (0) - 0,9Yl2 (0) = 0. Отсюда получаем
y11(O)= 1,15/0,52 = 2,21,
Yl2 (0) = 0,04/0,52 = 0,08,
y22(O) = 0,96/0,52= 1,85.
Рекуррентные соотношения для корреляций имеют вид
P11 (k) = 0,6ри (k - 1) - 0,5 1/0,96/I1IOp12(A; - 1),
P12 (k) = 0,4 1/1,15/0,96 ри (k - 1) + 0,5р12 (k — 1),
р21 (k) = 0,6р21 (k) - 0,5 j/0,96/1,15 р22 (k),
P22 (k) = 0,4 /1,15/0,96 р21 (k) + 0,5р22 (/г),
причем P11(O) = P22(O)=I и р12 (0) = 0,04/1/1.15 • 0,96 = 0,038.
Значения корреляционных функций приведены в табл. 8.1, а взаимная корреляционная функция показана на рис. 8.6. Видно, что, в то время как ріг(0) очень мало, ріг(1) и ріг(2) велики
Таблица 8.1
Теоретические корреляции для двумерного процесса авторегрессии (8.1.20)
k Pn (ft) Pl2(ft) fti (ft)
0 1,00 1,00 0,04 0,04
1 0,52 0,58 0,46 -0,43
2 0,07 0,14 0,48 -0,50
3 -0,18 -0,14 0,30 -0,33
4 -0,24 -0,22 0,09 -0,11
5 -0,17 -0,17 -0,05 0,04
6 -0,07 -0,08 -0,10 0,10
7 0,01 0,00 -0,09 0,09
8 0,04 0,04 -0,04 0,05
9 0,04 0,04 -0,01 0,01
10 0,03 0,03 0,02 -0,01
11 0,01 0,01 0,02 -0,02
12 0,01 0,00 0,01 -0,02
13 -0,01 -0,01 0,01 -0,01
14 -0,01 -0,01 0,00 0,00
15 -0,01 0,00 — —
16 0,00 — — —
17
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
91
и имеют положительный знак. Это объясняет упоминавшуюся выше тенденцию онережения процессом X2t процесса Xu на одно-два наблюдения. Рассматривая рис. 8.6, можно обнаружить также, что взаимная корреляционная функция имеет определенную периодичность, период которой равен примерно 10, т. е. частота равна 0,1 гц. Отсюда следует, что любой участок одного из процессов будет с некоторым искажением повторен другим процессом, т. е. вызовет его резонанс. Из рис. 8.6 видно, что чаще всего повторяются периодичности с периодом около 10.
Пример 2. В качестве второго примера двумерного линейного процесса рассмотрим процесс
Хи = OMu-i +Zu, (g
X2t — 0,5X2t~i + 2Х|;_ю + У' 2t,
где
Y21 = 0,5F2*-i + %2t и Zit, Z2t — некоррелированные процессы белого шума с единичной дисперсией. Это пример модели (8.1.6), рассматривавшейся в разд. 8.1.3. Таким образом, процесс X2t получается в результате пропускания процесса Xlt через линейный фильтр и добавления шума, который не является белым. Отметим, что имеется начальная задержка, равная 10 единицам, перед тем как процесс Xlt начинает влиять на X2t.
Действуя так же, как и выше, можно вывести следующие рекуррентные соотношения для ковариаций:
Yn(A) = O1OY11(A-I),
y12W = 2Yll (k- 10) + 0,5Yl2(A!-l), .^1
/м „е //, и k>1 8.1.23)
y2I (6) = 0,6y21 (k- 1), >
y22(k) = 2y21 (k - 10) + 0,5y22 (k-l) + yXiY (k-l),
причем
Yx1Y = 0 для всех k, yXiY{k) = 0,byX2Y{k-\),
yYxAk) = 0>5bxSk- 1) + yyy(*).
yYy{k) = 0,byYy(k-\),
y11(o) =1/0,64 =1,56, yYY (0)= 1/0,75= 1,33, • 4Yll (0) + 0,75y22 (0) - 2Yl2 (9) = Yyy (0) + yXiY(l), (8.1.24) l,2Yn (9)-0,7Y|2(0) = 0, 0,75yav(0)-0,5y1Ty(i)= I.
92
Г лава 8
Решая уравнения (8.1.24) и подставляя решения в рекуррентные соотношения (8.1.23), можно вычислить ковариации. Нормируя их, получаем корреляции этого процесса (они приведены в табл. 8.2). Взаимная корреляционная функция имеет весьма широкий пик, центр которого соответствует величине запаздывания 10, как и следовало ожидать из-за задержки в 10 единиц между процессами X и и Хи.
Таблица 8.2
Теоретические корреляции для двумерного линейного процесса с задержкой (8.1.22)
к Pn (*) Pu (ft) Pu (ft)
0 1,00 1,00 0,00 0,00
1 0,60 0,84 0,01 —
