Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 2" -> 30

Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 2 — М.: Мир, 1972. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt21972.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 85 >> Следующая

Выборочная оценка взаимной корреляции ноказана на рис. 8.7 пунктирной линией. Мы видим, что rXlXi(k) достигает значений
Рис. 8.7. Выборочные взаимные корреляции двух процессов авторегрессии первого порядка до и после фильтрации.
±0,3, в то время как теоретическая корреляционная функция, конечно, равна нулю.
8.2.2. Улучшение оценки взаимной корреляционной функции
Чтобы понять, как можно улучшить оценку взаимной корре-. ляционной функции, рассмотрим следующую модель двух взаимно коррелированных процессов авторегрессии первого порядка:
Xа = о,\Х,{—і-\~ Zit,
X-RX +7 (8-2Л1)
Предположим, что ковариация Zn и Z2«-л равна нулю для k, отличных от нуля. Тогда, считая, что Zit и Z2/ имеют двумерное нормальное распределение, получаем с помощью формулы (3.1.17) логарифмическую функцию правдоподобия для параметров аь
?i, Y12:
ft, Yi2 (Щ = — (N — k)\g2n — (N — k) IgO1 — (N — k) \go2 —
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
97
где
Zit — X\t а1*1<-1> Z2t-k — x2t-k — ?l-%-fe-l'
Дифференцируя l(ai, ?b yi2(k)) по всем трем параметрам и приравнивая производные нулю, находим из полученных уравнений выборочную оценку максимального правдоподобия для Y12(^):
N-k
ЬЛ^) = ¦JFZTk ^j(xit-uixu-i)(x2t-k-?ix2t-k~i), (8.2.12)
где и], ?i —выборочные оценки максимального правдоподобия для ai, ?i- Наглядный смысл этой оценки ясен:
Если нужен критерий корреляции двух временных рядов, то следует сначала отфильтровать эти ряды так, чтобы превратить их в белые шумы, а затем сосчитать взаимную ковариационную функцию.
Для двух независимых процессов из примера разд. 8.2.1 параметры оценивались с помощью выборочных оценок максимального правдоподобия (5.4.5). Например,
N
2
2 (*„_,-*,)*
t-2
Затем производилась фильтрация двух рядов по формулам
xit= хи — U-V
X2t ~ X2t ~~ $\X2t-V
и, наконец, вычислялась выборочная взаимная корреляционная функция отфильтрованных рядов (х'и, х'2і) по формуле (8.2.12). Эта функция изображена сплошной линией на рис. 8.7, где видно, что ее значения гораздо меньше, чем до фильтрации. Поскольку отфильтрованные ряды являются белыми шумами, то по формуле (8.2.9) стандартное отклонение выборочной оценки взаимной корреляции равно У 1/N = 0,1. Отсюда 95%-ные доверительные интервалы можно получить, если отложить от наблюденных значений ±0,2. Мы видим, что только один из этих интервалов не включает нуля. Если бы два процесса были некоррелированы, то следовало ожидать, что из 30 доверительных интервалов с уровнем доверия 95%; в среднем два интервала не будут содержать
4 Зак. 1173
08
Глава $
нуля. Поэтому наблюденная взаимная корреляционная функция не противоречит гипотезе о том, что эти два процесса некоррели-рованы.
В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области. Будет показано, что обсуждавшаяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром. Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром. Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров. Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных комнонент в двух рядах на определенной частоте. Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты. В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8.1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности. Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса.
Анализ Фурье можно применить к двумерным временным рядам точно так же, как и к одномерным. Предположим, например, что Xi(t), x2(t) —две косинусоидальные волны одинаковой частоты /о, но с разными амплитудами Аи A2 и фазами фь ц>2, т. е.
Если длина имеющихся записей равна Т, то с помощью (2.2.11) получаем преобразование Фурье Х\ (t), x2(t), —Т/2 *Ct *СТ/2:
8.3. ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР
8.3.1. Применение анализа Фурье к двумерным временным рядам
xt(t)
= /IjCOS (2я/г/ + ф;), t=l,2.
(8.3.1)
/ф; Г SJn IC (/-/о) T
і =1,2. (8.3.2)
ОЦ^у
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр 99
Отсюда выборочные спектры (6.1.6) этих двух сигналов равны
Счъ (/) = 1«, /=1,2.
Эти выражения при T оо стремятся к
^A![o(f-fQ) + o(f+fo)].
Таким образом, дисперсия, или средняя мощность косинусоидаль-ной волны, равная A)J2, распределена в виде б-функций на частотах / = ±fo.
Предположим теперь, что требуется описать ковариацию двух косинусоидальных волн. В таком случае естественно воспользоваться выборочным взаимным спектром мощности, или, короче, выборочным взаимным спектром
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed