Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
86
Ґлава 8
Случайный процесе (8.1.14) называется двумерным линейным процессом.
Ковариационные функции двумерного линейного процесса.
Если источники белого шума взаимно некоррелированы, т. е.
E [Z1 (t) Z1 (*')] = 0 для всех t, !',/=1,2,/=1, 2, то, используя (5.2.10), получаем
Y11(W) = J hn(v)hu(v+u)dv+alj hl2(v) Zi12 (и + и) do, 0 0
Y22 («) = OO OO J a21 (о) Zi21 {о + и) dv + а\ J Zz22 (у) a22 (v + и) dv, о о
Y2, («) = OQ СО J a21 (v) a11 (у + «)du + 02 J a22 (tv) a12 (v + u)dv, о 0
Y12M = OO OO J an (u) a21 (v + u) dv + a\ J a12 (v) a22 (v + u) dv. o o
(8.1.15)
Для дискретных процессов формулы получаются из приведенных выше с помощью замены интегралов на соответствующие суммы.
Рис. 8.5. Схематическое представление двумер ного линейного процесса.
Формулы (8.1.15) показывают, что, подбирая соответствующие функции отклика на единичный импульс /іц(и), можно получить двумерный случайный процесс {X{(t), X2(t)} с любыми наперед заданными взаимной ковариационной и автоковариационными функциями.
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
87
Можно получить еще более общую модель, если допустить возможность корреляции белых шумов в (8.1.14) в одинаковые моменты времени, т. е.
Простейший тип двумерного линейного процесса получается, когда функции отклика на единичный импульс /i,j(u) равны нулю вне некоторого интервала. Рассмотрим, например, дискретный процесс
Если Z1(, Z2J — некоррелированные процессы белого шума с дисперсиями а2 и а2,то взаимная ковариационная функция двумерного процесса {Xu, X2t) равна
Отметим, что в отличие от примера 2 из разд. 8.1.3 эта взаимная ковариационная функция отлична от нуля как для положительного запаздывания, так и для отрицательного.
Двумерные процессы авторегрессии. Для этих процессов функции отлика на единичный импульс Ііц(и) в (8.1.14) не обращаются в нуль вне какого-то ни было конечного интервала. Можно, например, определить непрерывный процесс первого порядка, который будет обобщением процесса (5.2.24). Так если Z4(Z) и Z2(Z)—процессы белого шума, коррелированные только в одинаковые моменты времени, то двумерный процесс авторегрессии для непрерывного времени определяется с помощью равенств
E[Z1U), Z2(O] = CT12O(Z-/').
8.1.5. Двумерные процессы авторегрессии и скользящего среднего
X\t — Zn + PnZ1^1 + ?12Z2<_!, %2t ~ z2< + ?21Z1/_1 + ?22Z2(_|.
(8.1.16)
v12(-i) = ?124
Y12(0) = ?u?21a2 + ?12?22al,
Yi2(O = P21O?,
Yj2(A) = O1 ИФО, ±1.
dXt (Q dt
dX2 (Q dt
+ O21X1 (Z) + a22X2 (Z) = Z2 (Z),
f a,,*, (Z) + O12Z2(Z) = Z1 (Z),
(8.1.17;
а для дискретного времени — равенствами
Xn = Ct11X^-I + (X12X2^-I + ZxU X2f = а2[ХП-\ + а22Х2;_] + Z21,
(8.1.18)
88
Г лава 8
где без ограничения общности мы предположим, что процессы имеют нулевые средние значения.
Вычисление авто- и взаимных ковариаций непрерывного процесса (8.1.17) с помощью равенств (8.1.15) довольно трудоемко, и его можно проделать изящнее, используя матричные методы, которые будут описаны в гл. 11. Сейчас мы лишь отметим, что авто- и взаимные ковариаций процесса (8.1.17) можно записать в виде
Yn (") = Ьие~а"и + Ь21е-
Y22 («) = + b22e~ anil
Yi2(^) = Ьпе~а»и + b22e~ anu
Y2I (") = Ьпе-а"и + b2le~ ai2u
где bjj — некоторые функции от at,. Интересно, что автокорреляционная функция двумерного процесса первого порядка имеет такой же вид, что и корреляционная функция (5.2.35) одномерного процесса авторегрессии второго порядка.
Явные выражения для авто- и взаимных ковариаций дискретного процесса (8.1.18) выводятся очень просто в гл. 11 с помощью теории матриц. Однако их можно также получить рекурсивно с помощью скалярного рекуррентного соотношения для ковариаций, аналогичного соотношению (5.2.43). Так, умножая первое уравнение в (8.1.18) на X2t-h и беря математические ожидания от обеих частей равенства, мы получим
E [X2t-k^\t] = ЩіЕ [X2t-kXu-i\ + акЕ [X2t-kX2t-i] + E [X2t_kZn] или же
Y2I (k) = Ct11Y2I (k-l) + Gt12Y22 № - О, k > 1,
Аналогично
Yi2 (?) = Ct21Yn (k- 1) + O22Yi2 (k- 1), fc> 1,
Yn (6) = O11Y11(A -1) + Ct12Y12 (k - 1), й>1, (8.1.19)
Y22(^) = Ct21Y2I (6-1) + Ct22Y22(^ - 1), k > 1.
Следовательно, значения ковариаций для запаздывания k легко получаются из значений для запаздывания k—1. Чтобы начать этот процесс, нужно знать значения для k = 0. Их можно получить, возводя в квадрат и перемножая равенства (8.1.18) и беря затем математические ожидания. Таким образом, мы получаем
Y11 (0) = Of1Y11 (0) + ct?2Y22 (0) + 2O11O12Y12 (0) + от2,
Y22 (0) = «Zl1Y11 (0) + o22Y22 (0) + 2а21а22у12 (0) + (T22,
