Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 2" -> 29

Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 2 — М.: Мир, 1972. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt21972.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 85 >> Следующая

2 0,36 0,62 0,01 —
3 0,22 0,43 0,02 —
4 0,13 0,28 0,04 —
5 0,08 0,18 0,06 —
6 0,05 0,12 0,11 —
7 0,03 0,07 0,18 —
8 0,02 0,04 > 0,30 —
9 0,01 0,03 0,50 —
10 0,01 0,02 0,83 —
11 0,00 0,01 0,77 0,59 —
12 — 0,01 —
13 — 0,00 0,42 —
14 — — 0,29
15 — — 0,19 —
16 — — 0,12 —
17 — — 0,08 —
18 — — 0,05 —
19 — — 0,03 —
20 0,02
Двумерные процессы авторегрессии — скользящего среднего.
Более общий двумерный процесс можно получить, если к членам авторегрессии добавить члены скользящего среднего. Например, взяв комбинацию моделей (8.1.16) и (8.1.18), получим дискретный процесс
Хц = O11Z1;-, + al2X2t~i + Zц + ?n^U-I + Pl2^2<-li ^ ^ ^
-? = a2i-^i<-i + a2A*-i + z2t + P21Z1^1 + ?22z2f_1.
Как уже отмечалось выше, для сжатого математического описания такие процессы удобнее всего записывать в матричной форме. Мы отложим более общее рассмотрение их свойств до гл. И.
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
93
8.2. ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИОННОЙ
ФУНКЦИИ
8.2.1. Выборочная взаимная ковариационная функция
В разд. 5.3.1. было показано, что разумной оценкой взаимной ковариационной функции при условии, что средние значения процессов равны нулю, является функция
Г/2-и
Y J X1V)X2V+ и) dt, 0<ц<7\ ~ТПТ12 (8.2.1)
Y J X1 (t) X2V+ и) dt, -Г<«<0.
-Т/2+и
Как и при оценивании автоковариаций, делить на T предпочтительнее, чем на T—и, поскольку в первом случае оценка имеет меньшую среднеквадратичную ошибку.
Беря математическое ожидание от обеих частей (8.2.1), получаем
\и\
Е[сх,х,Щ = [1 -1T-JyX1XM)'
откуда видно, что сХХг(и) является смещенной оценкой уI2(и) и смещение стремится к нулю лишь при T —> СО.
Если средние значения процессов могут быть отличны от нуля, то нужно рассмотреть оценку
Т/2-и
Y J [X1V)- X1] [X2 (і + и) -X2] dt,
-Т/2
О < и < Т,
m _ (8.2.2)
J [X1 V) — X1] [X2 V + и) — X2] dt,
сх,хМ) =
-TI2 + U
-Г<и<0,
где
Г/2
Xi = y I X1V)Ut, /= 1, 2.
-Г/2
приведенным
В этом случае вычисления, аналогичные в разд. 5.3.3, показывают, что
^»H1 -Щ^хМ)+т Я1 -ЦЦуыМаи
94
Глава S
Следовательно, из-за введения поправки на среднее значение смещение увеличилось на величину порядка 1/Т. Выборочная взаимная ковариационная функция имеет те же самые недостатки, что и выборочная автоковариационная функция, и, в частности, ее соседние значения сильно коррелированы. В Приложении П9.1 показано, что ковариация оценок схх (и{), сх,хХи-2) для ДВУХ различных запаздываний и\ и U2 дается формулой Бартлетта
CovKa-2(ui)> ^1J1NJ5=
T' Т"
1
j2
Г J у(г)(\ -Щаг- Т" J y(0 (l -Щаг], (8.2.3)
где
•TV __ т _ 1 "1 I + I "2 I т„ _ I u2 I - 1 »| 1
+ Y^1 (г + -^) YMl (г + + К (г, Щ, U2)
и К {г, ии U2) — совместный кумулянт случайных величин X\(t), X1 (t + U1), X2 (t + r) и Jf2 (f + г + «2).
При больших T для (8.2.3) можно дать следующее приближенное выражение, которое аналогично выражению (5.3.22):
OO
Cov [0X1X, Ы> свд W] «у- I Y (¦*") dr. (8.2.4)
— со
В дискретном случае это приближение имеет вид
OO
4S(V, <г> Y™, (г + / - ft) + Yy,X2 (г + /) Yy2y, (г - А)]. (8.2.5)
Г= —оо
Влияние автокорреляции на взаимную корреляцию двух временных рядов. Интересный случай формулы (8.2.4) получается, когда Yy,x2 (м) = О для всех ы> т- е- когда два процесса некорре-лированы. Тогда если пренебречь членом, содержащим кумулянт (который отличен от нуля лишь для негауссовских процессов), то (8.2.4) перейдет в
COV [СуД (U1), Cy1X2(U2)] -
OO
- T I Vx1X1 (г - Yx2X, (г + dr. (8.2.6)
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
95
Аналогично для двух некоррелированных дискретных процессов формула (8.2.5) переходит в
оо
Cov[cXiXi(k), схлЩ~~ ^ YWl(r)YMlH/-ft). (8.2.7)
Г>= — OO
Если Xi(t), X2(t) —процессы авторегрессии первого псрядка с параметрами cci и ?i соответственно, то
и, подставляя эти выражения в (8.2.7) для случая / чаем
Для белого шума соответствующая формула имеет вид
Var[^A(*)]«-?p.. (8.2.9)
Следовательно, если at?i положительно, то дисперсия (8.2.8) оценки взаимной ковариации увеличена по сравнению с дисперсией (8.2.9) для случая белого шума. Если же a(?i отрицательно, то (8.2.8) меньше, чем (8.2.9). Обычно ai?i бывает положительно, т. е. два процесса или оба имеют положительные автоко-вариации, или же оба — отрицательные. В таком случае из равенства (8.2.8) следует, что могут получиться очень большие выборочные взаимные ковариации (ложные!) между двумя некоррелированными процессами из-за больших значений автоковариа-ций внутри каждого из процессов.
Пример. Чтобы проиллюстрировать этот эффект, мы вычислили выборочную взаимную корреляционную функцию rXtX,(k) для реализаций двух независимых процессов авторегрессии первого порядка с параметрами at = ?i = —0,9 при N = 100. Эта выборочная оценка получена при использовании дискретного выборочного аналога функции (8.2.2), а именно
г (k) -___4*i*'(k) -
где
N-k
cVy(*) = -^ 2 (*«-*<) (?+*-*/), ?>0. (8.2.10) t-i
= k, полу-(8.2.8)
c.xiXj(- k) = cXjX.{k), k<0,
96
Глава 8
1=1, 2.
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed