Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
%2t = А(Ді? + Z(,
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
83
Если средние значения X1, и Z( равны нулю, то из (8.1.1.) получаем взаимную ковариационную функцию входа Хи и выхода X2t
Y12 (k) = E [Xn (h0Xlt+k + Zt+k)\ = A0E [X11X11+11] + E [XuZl+k].
Если предположить далее, что шум Zt некоррелирован со входом Xu, то
yl2(k) = h0yn(k),
т. е. взаимная ковариационная функция отличается'.лишь на постоянный множитель от автоковариационной фунции входа. В частном случае, когда Xi(t)—белый шум, взаимная ковариационная функция отлична от нуля лишь при k = 0, и в этом случае
Yi2(O) = A0Y11(O).
Заметим, что, хотя с первого взгляда кажется, что шум Z< не входит в эти вычисления, тем не менее его влияние сказывается на увеличении дисперсии процесса Х2І. Таким образом, мы имеем
Var [X2t] = E [Xh] = E [{h0Xn + Z1)2] = AoYu (0) + yzz (0).
Следовательно, взаимная корреляционная функция в этом примере равна
_ /п\__^qYi і (0)___ha
V Yn (0) [AoYu (0) + Y22 (0)] Vh2 + yzz (O)Jyn (0)
р,2(*) = 0, кфО. (8л-7>
Таким образом, корреляция между входом и выходом зависит от отношения сигнал/шум \ц (0)/yZz (0), т. е. от отношения дисперсий входа и шума. Если это отношение велико, то р12(0) близко к единице, а если отношение мало, то шум доминирует и р12(0) соответственно мало.
Пример 2. В качестве менее тривиального примера рассмотрим процесс
X2t = hQX lt + А,*„_, + Zt,
где Xit и Zt — некоррелированные процессы белого шума с одинаковой дисперсией о2. Тогда
Y12 (0) = E [Xn (H0Xn + A1*,,., + Z1)] = A0(J2, Y12 (1) = E [Xn (H0Xn+1 + H1Xn + Zt+1)] = A1O-2, Y12(A) = O, k Ф 0,1. Дисперсии этих двух процессов равны
Y22(O) = E[(KXn + A1*,,., + Zt) (H0Xn + A1*,,-, + Zt)] = (A0 + A? + l) а2, Y11(O) = а2.
84
Г лава 8
Отсюда взаимная корреляционная функция имеет вид
P12(O) =
Ло
V1 +hl+ h\
Pi2(I) =
]/l +fto + fti '
P12 (?) = 0, k Ф 0,1.
Если веса Ай в (8.1.6) положительны, то два процесса A^(Z), X2(t) будут «выглядеть похожими», а взаимная корреляционная функция будет положительной. Наоборот, если веса отрицательны, то эти два процесса будут выглядеть как зеркальные отражения друг друга, т. е. увеличения одного процесса будут сопровождаться уменьшениями другого и наоборот.
Взаимная корреляционная функция произвольного линейного процесса. Общее выражение для взимной корреляционной функции процесса (8.1.5) можно получить, умножая (8.1.5) на Xi(t — и) и беря математические ожидания от обеих частей равенства. Если средние значения процессов Xt(t) и Z(t) равны нулю, то при условии, что yxz(u) = 0 для всех и, взаимная корреляционная функция равна
Yi2 («) = ?¦
X1 (t - и) J h (v) X1 (t -v)dv + X1 {t-u)Z (t)
= j h (v) Yn (и — v) dv, — со ^ и ^ оо. (8.1.8)
о
Ниже нам понадобится выражение для автоковариационной функции выхода. Его можно получить, перемножив почленно два равенства (8.1.5), относящиеся к разным моментам времени, и взяв математические ожидания. Предполагая, что E[Xi(t)] = = E[Z(t)\ = О и yxz(u) = 0, в качестве окончательного результата будем иметь
OO оо
Y22(и) = j" J h (v) h (v') Yn (и + V — v') dv dv' +¦ yzz (и), — со ^ и со,
о о
(8.1.9)
что является простым обобщением формулы (5.2.9)
Теперь нетрудно получить взаимную корреляционную функцию
P12(H) = . -^L- (8.1.10)
У Yn (0) Y22 (0)
где Y22(0) получается из (8.1.9), если положить и — 0.
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
85
Для дискретных процессов формулы, соответствующие (8.1.8), (8.1.9) и (8.1.10), легко получаются из (8.1.6). Таким образом, мы имеем
оо
Y,2(*)= 2 A1-Yu(A-г), A = O, ±1, ±2, ... (8.1.11)
г = 0
OO OO
Y22(А) = 2 2>hrhsyn(k + r-s) + yzz(k), (8.1.12)
r-O S = O
й = 0, ±1, ±2, .... р12 (k) = -. (8.1.13)
8.1.4. Двумерные линейные процессы
В модели (8.1.5) предполагалось, что флуктуации процесса Xi(t) вызывают флуктуации процесса X2(I). Более общая модель взаимной корреляции двух случайных процессов получится, если предположить, что флуктуации процессов Xi(t) и X2(I) вызываются двумя другими источниками Zi(O и Z2(O, которые влияют на эти процессы по-разному. Например, в простейшем случае
X1 (O = A11Z1 (t) + hl2Z2(t),
Z2(O = Zz21Z1 (0 + /i22Z2(Z)1
где Zi(O, Z2(0 —некоррелированные процессы белого шума с дисперсиями (Tj, а\. Отсюда получаем
Y12 (0) = E [(/znZ1 (O + A12Z2 (0) (A21Z1 (O + Zz22Z2 (/))] = A11A21cx? + A12A22(t22, Yu(A) = O, кфО.
Переходя к более общему случаю, предположим, что двумерный случайный процесс {Xi(t), X2(t)} порождается так, как указано на структурной схеме на рис. 8.5. Два источника белого шума Z1-(O, z = 1, 2, подаются на входы четырех линейных систем с функциями отклика на единичный импульс hu(u), Ai2(zz), h2l(u) и h22(u) соответственно. Выходы от первой и третьей систем складываются и образуют процесс Xi(t), а выходы от второй и четвертой систем, складываясь, дают процесс X2(O- Таким образом, мы имеем
OO OO
X1 (O = J A11 (V) Z1 (t - V) dv + J A12 (о) Z2 (t - V) dv,
о о
(8.1.14)
X3 (O = J A21 (V)Z1 (t - V) dv + J" A22 (v) Z2 (t ~v)dv.
