Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
4. Суммо-разнсстные фильтры. Рассмотрим теперь фильтр, состоящий из m суммирующих и из п разностных фильтров. Из (2.3.26) и (2.3.27) полная функция усиления и полная фазовая характеристика равны
Gm, п (Л = 2m+n (cos nf)m I sin nf I*1, -!</<!, (7.3.9)
и
f „/(m + n) + -y-, -y</<0,
ф(Л { „/(m+n)--f-, 0</<J.
Отметим, что функция усиления имеет максимум на частоте
f0-^ arccos (7.3.10)
Теорема Слуцкого. Если на вход описанного выше суммо-разностного фильтра подается процесс со спектром Tzz(f), то,
50
Глава 7
используя формулу (7.3.9), можно получить спектр выходного процесса
Гхх (f) = 2m+n+I (cos Kf)2m (sin Kf)2" Vzz {f), 0 < f < \ .
С помощью формулы (7.3.10) можно убедиться, что для белого шума, т. е. когда Tzz(f) = 2, 0<f<-^-, функция Fxx(f) стремится при т—*х>, п оо, n/m—> 6 к б-функции б(/ — /о), где
о с 1-6
cos2л/0 = y+q ¦
В разд. 6.2.2 было показано, что случайный процесс, спектр которого есть б-функция, является синусоидальной или косинусоидаль-ной волной. Таким образом, этот результат показывает, что если белый шум подвергать суммированию и взятию разностей достаточное число раз, то получится синусоидальная волна. Эта теорема принадлежит Слуцкому [11], который отмечал, что в некоторых случаях периодическое или квазипериодическое поведение экономических временных рядов объясняется процедурой сглаживаний, примененных к этим рядам.
5. Фильтры для пробного спектрального анализа. Фильтры, использованные в разд. 7.3.2 для пробного анализа, получаются из операций суммирования и взятия разностей с подходящими задержками. Например, передаточная функция фильтра, соответствующего сумме квадратов SM из разд. 7.3.2, равна
откуда функция усиления имеет вид
sin 32nf)2__ _
I sin я/1 ' 2^'ч2
2(sin32nf)2 1 . 1
Аналогичные выражения можно получить и для других фильтров. Как отмечалось в разд. 7.3.2, фильтр, соответствующий І>д, имеет максимум на частоте f = 0,5 гц и обращается в нуль первый раз при f = 0,25 гц. Следовательно, величину на выходе этого фильтра нужно распределить, грубо говоря, по интервалу от 0,25 до 0,5 гц, если требуется выборочная оценка мощности в этом интервале.
6. Фильтры типа скользящего среднего — авторегрессии. Обобщением описанных выше фильтров являются фильтры типа скользящего среднего — авторегрессии, определяемые соотношением
m I
2 ЩУі+і= 2 ViXt+i- (7.3.11)
? = -m i =
Основное отличие этого фильтра от предыдущих состоит в том, что выход yt зависит как от входных значений, так и от других выход-
Примеры одномерного анализа
51
ных значений, т. е. эти фильтры используют обратную связь. Передаточная функция фильтра (7.3.11) равна
и ы = P-^+ ••¦ +?o + ?i2""'+ ••• +Ргг~г
к ' a-mzm+ ... +ao + aiz-1 + ... + amz~m '
Фильтры этого вида обладают большей гибкостью, чем описанные выше, а также более экономичны в том смысле, что хорошее приближение к заданному фильтру можно получить с меньшим числом параметров в правой и левой частях равенства (7.3.11). Этот факт проиллюстрирован на рис. 5.20, где показано, что согласие с данными у процесса авторегрессии второго порядка лучше, чем у процесса скользящего среднего десятого порядка.
Суммирующие и разностные фильтры или их обобщения можно использовать в большей части случаев, когда нужна цифровая фильтрация. Однако если при проектировании фильтра требуется особая тщательность, то параметры at, ?j в (7.3.11) можно подбирать эмпирическим способом, описанным в [12]. Сначала задается форма требуемого идеального фильтра. Затем параметры ось ?; подбираются так, чтобы минимизировать некоторую величину, характеризующую качество приближения для нескольких выбранных частот. Например, можно было бы минимизировать среднеквадратичную ошибку отклонений фильтра (7.3.11) от идеального фильтра на выбранных частотах. Или же можно было бы минимизировать, как это делается при наилучшем чебышевском приближении, наибольшее расхождение между фильтром (7.3.11) и идеальным фильтром. Такие вычисления нетрудно выполнить с помощью вычислительной машины.
Использование цифровых фильтров. Ниже перечислены некоторые из наиболее важных случаев использования цифровых фильтров.
а. Пробное оценивание спектров. Для этого нужен набор полосовых фильтров, например таких, которые приведены в [13].
б. Сглаживание данных. Эта процедура устраняет высокочастотные осцилляции. Для этого нужен низкочастотный фильтр.
е. Устранение трендов из данных. Для этого нужен высокочастотный фильтр, который можно получить, применяя низкочастотный фильтр и затем вычитая результат низкочастотной фильтрации из исходных данных. Устранение низкочастотного тренда часто является необходимой операцией перед оцениванием спектра. Ниже приводится пример, гДе из-за невозможности устранить тренды появляется значительное смещение в выборочной спектральной оценке.
г. Разделение временного ряда на компоненты. Часто при изучении соотношений между временными рядами лучше разложить
52
Глава 7
исходный временной ряд X1 на компоненты
xt = xiu + xf>+ ... + *<*> (7.3.12)
