Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Все эти ситуации характеризуются тем, что сначала выборочные оценки проявляют тенденцию к сходимости, но затем из-за неустойчивости начинают расходиться, прежде чем можно сделать определенные выводы. Так как невозможно сказать, какая из этих^ выборочных оценок спектра ближе к истине, то мы предлагаем изображать три выборочные оценки, соответствующие тем точкам отсечения, где после сходимости появляется расходимость. Важно,
Примеры одномерного анализа
33
однако, помнить, что при стягивании полосы частот выборочная спектральная оценка становится полиномом от 2л/ все более и более высокой степени, что облегчает появление ложных пиков. В пределе, когда выборочная оценка стремится к несглаженному выборочному спектру, можно получить ложные пики всюду. Поэтому требуется некоторая осторожность при интерпретации выборочных спектральных оценок. Наконец, спектр должен иметь физический смысл, в противном случае анализ не представляет собой большой ценности. Короче говоря, основная цель стягивания окна состоит в том, чтобы использовать понимание физической сущности явления в процессе оценивания и интерпретации спектров.
7.2.5. Формирование окна
»' В разд. 7.1 было эмпирически показано, что стягивание окна гораздо важнее, чем формирование окна. Тем не менее известное значение имеет и конструкция окна, которое будет использовано. Как отмечалось выше, один из возможных подходов к такому конструированию дает использование критериев оптимальности при сглаживании (разд. 7.2.1). Однако можно показать, что окна, являющиеся плохими с точки зрения критерия среднеквадратичной ошибки или аналогичного критерия, имеют плохую форму и с других точек зрения. В этом разделе указан перечень некоторых важных свойств, которыми должны обладать спектральные окна. Аналитический подход к этой задаче применен в работе [1]; здесь излагается более описательный метод.
1. При заданной точке отсечения M смещение, обусловленное спектральным окном W(f), будет мало, если это окно сосредоточено вблизи нуля. Из рис. 6.12 и 6.13 видно, что соответствующее прямоугольному корреляционному окну wR(u) спектральное окно WB(f) сконцентрировано около центральной частоты теснее, чем любое другое. Из табл. 6.6 следует, что спектральное окно WR(f) имеет наименьшую полосу частот. Следовательно, ширина полосы частот служит мерой сконцентрированности спектрального окна.
2. Спектральное окно WR(f) имеет наименьшую полосу частот за счет того, что боковые лепестки этого окна самые большие, как видно из рис. 6.13. Влияние боковых лепестков выражается в том, что из-за них значения спектра Txx(g) на частотах g, отстоящих довольно далеко от могут давать большой вклад в смещение на частоте /. Этот эффект называют утечкой (leakage). Из рис. 6.13 видно, что окна W в, WT и WP имеют гораздо меньшие боковые лепестки, чем Wr, а лепестки спектрального окна Бартлетта WB больше, чем у окон WT и WP, что, как показывает рис. 7.5, может приводить к неприятностям в случае узкого пика в спектре. Если нужно, чтобы боковые лепестки были минимальны, то окно Wp предпочтительней, чем другие.
2 Зак. 1178
34
Глава 7
3. Спектральные окна WR{f), WB(f) и WP(f) имеют вид
(7.2.6)
и, следовательно, корреляционные окна wR(u), wB(u) и wP(u) связаны между собой с помощью операции свертки. Другими словами, корреляционное окно wB(u) = (\ — \и\/М), 0<С|и|-<Л4, можно получить, свертывая окно wR(u) = 1, 0-< \и\ -<М/2, с самим собой. Аналогично, корреляционное окно wP(u) получается с помощью свертки окна wR{u) = 1, 0 <1 |«| -^МЦ, с самим собой 4 раза. То же самое можно сказать несколько по-иному: окно wR пропорционально плотности вероятности равномерно распределенной случайной величины; окно wB пропорционально плотности вероятности полусуммы двух равномерно распределенных величин и окно wP пропорционально плотности вероятности среднего арифметического из четырех равномерно распределенных величин. Ясно, что распределение среднего арифметического из п равномерно распределенных величин будет сходиться к нормальному, или гауссовскому, распределению при п—*оо. Таким образом, корреляционное окно сходится к нормальной кривой, и, следовательно, к этой же кривой сходится и спектральное окно (7.2.6), как показано в гл. 2. В действительности, Даниэльс [10] и рекомендует использовать для спектрального анализа нормальное окно.
С одной стороны, увеличение п приводит к уменьшению высоты боковых лепестков, что видно из (7.2.6). Однако, с другой стороны, спектральное окно также становится более сплющенным и широким, поскольку оно в первый раз обращается в нуль на частоте f = 2п~1/2М. Следовательно, для получения заданной ширины полосы при этом потребуется большое М. Например, для получения заданной ширины полосы частот с помощью окна Парзена wP требуется значение М, примерно на 40% большее, чем для окна Тью-ки wT.
4. Влияние изменения формы окна при фиксированной точке отсечения можно проиллюстрировать, построив график коэффициента корреляции между сглаженными спектральными оценками на частотах fi, /г- Из (6.4.11) этот коэффициент корреляции равен
