Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, из (7.3.2) получается
"-TEZT = W- (7-3-4)
Затем на рис. 3.10 можно найти значение 80%-ного или 95%-ного доверительного интервала, соответствующего данному числу степеней свободы. Если полученный таким способом доверительный интервал слишком велик, то, увеличив V (и, следовательно, увеличив Л*), мы уменьшим его, правда за счет увеличения времени вычислений и усилий, потраченных на сбор данных.
Простую интерпретацию формулы (7.3.4) можно получить, рассматривая сглаженные спектральные оценки, отстоящие по частоте на ширину полосы частот Ь спектрального окна. Ковариация этих оценок приблизительно равна нулю, так как при таком расстоянии по частоте спектральные окна почти не перекрываются. Поэтому число независимых сглаженных спектральных оценок в полосе частот от 0 до 1/2А равно (1/2A) b = LjIb\, так что Ъ = b\\LA. Однако несглаженные спектральные оценки, отстоящие на IjT = 1/NA, распределены как независимые %2-величины с двумя степенями свободы. Поскольку в интервале от 0 до 1/2А содержится Т/2А таких независимых несглаженных оценок, полное число степеней свободы, относящееся к каждой сглаженной оценке (т. е. к каждому оцениваемому значению спектра), равно v = 2(7"/2A)/(L/2&i) = 2b\NjL. Следовательно, N = vL/2bi.
Важная особенность формулы (7.3.3) состоит в том, что длину записи можно задавать независимо от спектрального окна и она зависит лишь от v и а.
Пример. Предположим, что требуется оценить спектр мощности в диапазоне до /о = 2 гц и можно без опасений считать, что за этой частотой нет сколько-нибудь заметной мощности. Таким образом,
38
Глава 7
не будет неприятностей из-за наложения частот. Тогда, согласно требованию 1, мы имеем
Л =-^-= 4-= 0,25 сек.
Если можно предположить, что ширина самого узкого пика в спектре равна по крайней мере 0,20 гц, а устойчивость, даваемая 30 степенями свободы, представляется подходящей, то из (7.3.3) длина записи должна быть не менее
т==тт = 75 сек-
Следовательно, требуется N = 300 точек данных. Из рис. 3.10 находим, что для 30 степеней свободы 80%-ный_доверительный интервал для Гхх(П приблизительно равен (0,7Cxx(f); 1,ЗСХХ(/)), т.е. получается 30%-ная относительная ошибка. Чтобы уменьшить этот доверительный интервал, скажем, до (0,8Cxx(f); l,2Cxx(f)), потребовалось бы V = 80 и, следовательно, T = 200 сек, N = 800.
Приведенные выше вычисления имеют некоторое значение, когда заранее решается вопрос о длине записи, однако следует подчеркнуть, что после того, как данные собраны, требуется другой подход. Таким образом, если анализ предназначен для разделения пиков шириной а, то может случиться, что после сбора данных перед началом анализа обнаружится неправильность наших предположений о величине а. Следовательно, нужно приспособить, как указывалось в разд. 7.2, действительный анализ спектра к имеющимся данным. Это и дает основание воспользоваться процедурой стягивания окна, описанной в разд. 7.2.4.
7.3.2. Пробный анализ (pilot analysis)
Иногда полезно получить грубую выборочную оценку формы спектра, не вычисляя сначала ковариационную функцию и затем сглаженную выборочную оценку по формуле (7.1.6). В частности, если нужно предварительно отфильтровать данные, как, например, в некоторых задачах из гл. 9—11, то грубый пробный анализ может оказаться достаточным, чтобы приближенно синтезировать хорошую частотную характеристику фильтра. Поскольку такой пробный анализ легко выполнить и без вычислительных машин, он служит также полезным упражнением, показывающим, какого рода информация содержится в спектре.
Описанную ниже форму пробного анализа удобно применять в том случае, когда число наблюдений N = 2р, где р — некоторое целое число. Впрочем в разд. 7.3.5 показано, как этот анализ можно
Примеры одномерного анализа
39
Таблица 7.2
Воображаемый план эксперимента для данных о партиях продукта
Модификация 1 2
Неделя 1 2 3 4
День 1 2 3 4 5 6 7 S
Рабочая смена 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 I 2
Партия 1 47 64 38 65 59 48 56 40 80 55 51 58 44 57 25 59 56 74 45 54 48 55 50 62 43 52 55 41 34 35 68 38
Партия 2 23 71 55 41 71 35 58 44 37 74 50 60 50 45 50 71 50 58 36 54 45 57 44 64 38 60 53 49 54 45 50 60
видоизменить для любого числа N. Чтобы объяснить эту процедуру, представим себе, что первые 64 наблюдения о партиях продукта из табл. 5.1 были получены из эксперимента, в котором некоторые параметры процесса намеренно изменялись согласно схеме, изображенной в табл. 7.2. Предполагается, что эксперимент построен таким образом, что выход продукта может зависеть от партии используемого сырья, рабочей смены, еженедельной чистки дистилляционной колонки и от двух основных модификаций процесса дистилляции. Заметим, что имеет смысл производить лишь сравнения типа «между разными партиями сырья, в одни и те же дни, недели и для одной из модификаций», поскольку каждый раз партии используемого сырья различны. Поэтому естественно использовать для анализа этих данных метод, называемый дисперсионным анализом факторного эксперимента с группировкой. При этом полная сумма квадратов отклонений, поделенная на N, разлагается на следующие слагаемые:
