Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 7.12 показан еще более сложный спектр, соответствующий случайному процессу, состоящему из двух узкополосных источников белого шума, причем расстояние с между полосами мало*). Для получения малой степени искажения в этом случае требуется спектральное окно с шириной полосы частот порядка с, т. е. порядка расстояния между полосами спектра. Следовательно, можно сделать следующий общий вывод: для получения малой степени искажения ширина полосы частот окна должна иметь тот же порядок, что и ширина самой узкой существенной детали спектра. Таким образом, при планировании спектрального анализа до того, как собраны данные, нолезно иметь приблизительные оценки ширины самой узкой детали спектра. Этот вопрос мы обсудим в разд. 7.3.1.
Термин разрешающая способность был введен в [2] для описания аналогичного явления. Эта оптическая аналогия предполагает,
*) На рис 7.12 видны три полосы частот. Однако следует помнить, что спектр является четной функцией, так что его график при / ^ 0 есть зеркальное отражение графика при / ^ 0. Таким образом, речь здесь идет о двух полосах частот при / ^ 0. — Прим. перев.
Примеры одномерного анализа
29
что делается попытка разрешить линии в спектре, т. е. разрешить спектр вида
Гхх (/) = 4[б (/ - ^ + 6 {f + M +^-[b(f~f2) + o(f + Ш.
В этом случае говорят, что б-функции, или пики, спектра разрешены, если ширина полосы частот окна меньше расстояния между пиками по частоте. Это наводит на мысль о том, что такое понятие не является очень полезным в спектральном анализе, так как реальные спектры не могут быть описаны с помощью б-функций;
Гхх(Г)
Ширина полосы частотне
Рис, 7.12. Степень искажения при оценивании белого шума, состоящего из
двух полос.
иначе говоря, пики никогда не имеют нулевой ширины. Кроме того, как показано выше, важна именно ширина существенных деталей спектра, а не просто расстояние по частоте между пиками.
Высокая устойчивость. В разд. 7.1 было показано, что малая степень искажения достигается при определенном значении ширины полосы частот окна, однако и при этом все же могут получаться плохие выборочные оценки спектра, если длина записи слишком мала. Так, например, из рис. 7.7 видно, что пик процесса второго порядка можно оценить с малой степенью искажения при L — 32. Однако изображенная на рис. 7.8 для этого L выборочная оценка спектра, сосчитанная по N = 50 членам, дает очень плохую картину пика.
С другой стороны, как мы видим из рис. 7.9, выборочная оценка спектра, сосчитанная по N = 400 членам, показывает, что можно с разумной точностью оценить спектр при L = 32. Это было предсказано теорией, развитой в разд. 6.3, и объясняется тем, что малая дисперсия, т. е. высокая устойчивость, получается при больших отношениях TjM = NJL. Следовательно, для хорошего спектрального
зо
Глава 7
анализа M должно быть достаточно велико, чтобы обеспечить малую степень искажения, и TjM также должно быть большим, чтобы обеспечить высокую устойчивость. Эта идеальная ситуация приблизительно выполняется для выборочной оценки спектра процесса авторегрессии первого порядка на рис. 7.3. Однако во многих практических задачах приходится останавливаться на некотором компромиссе между малой степенью искажения и высокой устойчивостью. Вопрос о том, как практически выбрать такое компромиссное решение, обсуждается в следующем разделе.
7.2.3. Эмпирическое сглаживание выборочных спектральных оценок
Проведенное в разд. 7.2.1 обсуждение использования критериев оптимальности при сглаживании и, в особенности, недостатки такого подхода указывают на то, что необходим некоторый эмпирический способ сглаживания. В частности, чтобы избежать недостатков 2, 3 и 4, нужен такой гибкий подход, который допускал бы различные способы проведения сглаживания, подсказанные самим анализом данных. Иными словами, нужен метод, дающий возможность узнать достаточно много о спектре Гхх(ї) по имеющимся данным, с тем чтобы выбрать подходящее сглаживание для любого интересующего нас диапазона частот.
Пользуясь терминологией предыдущего раздела, это требование можно сформулировать так: нужно, чтобы решение о том, когда достигается разумный компромисс между малой степенью искажения и высокой устойчивостью, можно было получить из самих данных. Если принять, что желательна экономия в вычислениях ковариаций и что оценка типа (6.3.28) является подходящей, то сглаживание спектральной оценки полностью определится видом. т. е. математической формой, окна и его шириной полосы частот. или, что эквивалентно, его точкой отсечения.
Поскольку влияние формы окна на выборочные спектральные оценки имеет второстепенное значение, как видно из рис. 7.11, эмпирический подход к сглаживанию должен основываться на изменении полосы частот. Ниже мы изложим один эмпирический подход, который удовлетворяет этим требованиям и укладывается в изложенную выше схему. Во-первых, нужно выбрать некоторое спектральное окно приемлемой формы. Во-вторых, следует сосчитать несколько сглаженных выборочных спектральных оценок, взяв сначала широкую полосу частот окна, а затем постепенно сужая ее. Этот эмпирический метод спектрального анализа был предложен в [6], а в дальнейшем проиллюстрирован на практических задачах в [7, 8]. Ниже эта процедура использования постепенно стягивающихся полос частот будет называться стягиванием окна (window closing). Полнее мы ее обсудим в разд. 7.2.4. Несколько менее
