Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.20. Спектры горизонтальной компоненты скорости ветра.
наводящие соображения относительно моделей можно получить при изменении внешних условий и совместном изучении нескольких спектров. Эти внешние условия могут находиться вне нашего контроля, как в первом из приводимых ниже примеров, или же их можно преднамеренно изменять в виде запланированного эксперимента, как во втором примере.
Пример 1. На рис. 7.20 показана выборочная спектральная оценка горизонтальной компоненты скорости атмосферной турбулентности, приведенная в [17]. Верхний график получен по измерениям, сделанным при ясной погоде (высокий уровень солнечной радиации), а нижний — по измерениям, проведенным в облачную погоду (низкий уровень солнечной радиации). Отметим, что мощность спектра гораздо больше в периоды высокой радиации и что эта мощность сосредоточена в основном на низких частотах. В частности, пик спектра сдвигается в сторону низких частот с увеличением радиации, в то время как мощность на высоких частотах, по-видимому, не зависит от радиации. Эти выводы
'56
Глава 7
получены в результате детального изучения в работе [18], где предлагается следующее физическое объяснение такого поведения спектров: на высоких частотах основными причинами атмосферной турбулентности являются механические силы, или силы трения, а на низких частотах причиной служит конвекция, вызванная солнечной радиацией.
На рис. 7.20 ордината пропорциональна fCxx(f), так как по абсциссе откладывается lg/. В результате, несмотря на логарифмический масштаб, пло-1 fC^f'v/ щадь, ограничиваемая
кривой, равна полной дисперсии, или мощности. Поскольку средняя скорость ветра V изменяет интенсивность турбулентности и ее распределение по частоте известным образом, то оказалось естественней построить на рис. 7.20 графики безразмерных величин fCxx(fZ/V)lV2 и fZ/V.
Пример 2. На рис. 7.21 показаны три выборочные спектральные оценки, относящиеся к измерениям вертикальной компоненты скорости атмосферной турбулентности на трех различных уровнях над поверхностью земли (см._[18]). На_ рисунке нанесены безразмерные величины fCxx(fZ/V)/V2 и fZ/V, где Zт- высота над поверхностью земли. Мы видим, что два верхних спектра очень похожи по форме и имеют максимум на одной и той же частоте. Нижний спектр не похож на остальные. На основании этих и других выборочных спектральных оценок, приведенных в [18], было найдено хорошее согласие в диапазоне частот, где спектр существен, между эмпирическими спектрами и двумя предложенными теоретическими выражениями
0,05
0,10
0,20 0,30 0,Wawаво0,801,0 fz/v
Рис. 7.21. Спектры вертикальной компоненты скорости ветра.
ГХХ(А) = 2А(1 + АГ3, rxx{h) = ^h(\+hT°'\
где h = yZf/V и у — константа. В литературе можно найти много других примеров объяснений сложных физических явлений, предложенных на основе спектрального анализа или частично проверенных с его помощью.
Примеры одномерного анализа
57
7.4.2. Планирование экспериментов
В качестве примера применения спектрального анализа в планировании экспериментов рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется составить план эксперимента для оценивания наклона поверхности отклика г|(иь Vn), имея в виду использование этой поверхности для нахождения максимума или минимума ц. Например, ц(и) при п = 1 могло бы быть выходом химического продукта или себестоимостью одной его тонны, a v — скоростью подачи сырья в реактор. На практике можно различать две ситуации. В первой значения процесса получены из отдельных партий, а переменные и» устанавливаются перед началом выпуска каждой партии. Первая ситуация имеет место и тогда, когда процесс является непрерывным, но его регулировки проводятся столь часто, что в промежутках между ними изменением характеристик процесса можно пренебречь. Во втором случае процесс является непрерывным и наклон также измеряется непрерывно, как в управляющих системах поиска максимума [19]. Используя выборочную оценку наклона, управляющая система может подправить значения переменных, управляющих процессом, с тем чтобы максимизировать выход продукции или минимизировать ее себестоимость.
Предположим, что в первой ситуации значения v подправляются через единичные интервалы времени
o, = acos^-, t=\,2, N. (7.4.1)
Предположим далее, что амплитуда а косинусоидальнон волны фиксирована и что требуется выбрать ее период 2Ь так, чтобы минимизировать дисперсию оценки наклона. Считая, что модель линейная, т. е.
Y1 = T)(V1)+ Zt = Q1V1+ Zt,
где Zt — шум, или ошибка, получим обычную выборочную оценку наименьших квадратов для Qi
0I = Ч— = щт1іУМ-
t=i
В приложении П7.2 показано, что дисперсия соответствующей оценки 9i приблизительно равна
Var[e,]-^rzz(-^). (7.4.2)
58
Глава 7
Следовательно, при фиксированном а дисперсия достигает минимума, когда частота 1/26 возмущающего сигнала соответствует минимуму в спектре шума. Другими словами, максимизируется отношение сигнал/шум a2/2FZz (1 /20).
Для второй ситуации возмущающий сигнал есть косинусои-дальная волна
v(t) = a cos 2nf0t.
В Приложении П7.2 показано, что дисперсия наклона в этом случае минимизируется тогда, когда достигает максимума величина
