Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
с помощью набора полосовых фильтров. Например, из предварительных сведений может возникнуть предположение, что низкочастотные компоненты, содержащиеся в xt, можно лучше предсказать по низкочастотным компонентам, содержащимся в некотором другом ряде у,, чем по самим рядам xt или yt. Поэтому каждый ряд в (7.3.12) можно использовать по отдельности для дальнейшего анализа. Применение такого подхода при анализе метеорологических временных рядов изложено в [14], а при анализе экономических рядов — в [13].
Биномиальные фильтры. Особенно простой набор фильтров, который можно использовать для этой цели, приведен в [15]. В этом наборе используются введенные ранее суммирующие и разностные фильтры. С помощью г-преобразований разложение на компоненты можно записать в виде
X1= [^(1 +2-1)+1(1-2-1)]* X4 =
= (|)*[(1 +z-^ + kil+z-^il-z-i)+ ...
... + (* )(1+2"1)^ (1-2-1)'+ ... +(1-2-1)*]*,.
Таким образом, временной ряд xt можно расфильтровать на k + 1 временной ряд с помощью k + 1 фильтров, причем передаточная функция і-го фильтра равна
Я<<2> = (тГ(?)(1 +г"1)*"'*! -2-')'.
Следовательно, выход х\1) этого фильтра получится, если исходный сигнал пропустить через k — і суммирующих фильтров и J разностных фильтров, а затем умножить на коэффициент
(т)'(П-
Из (7.3.10) следует, что і-й фильтр имеет пик на частоте f0:
cos2nf0= k fe2' , i = 0,l,...,k.
Например, при k = 4 пики расположены на частотах 0; 0,167; 0,25; 0,417; 0,5 гц.
Пример цифровой фильтрации. Этот пример относится к оцениванию спектра отраженного радиолокационного сигнала и опи-
Примеры одномерного анализа
53
сан подробнее в [16]. По техническим причинам при измерении отраженного сигнала нельзя отделить эффект, вызванный рысканьем самолета, за которым следит радиолокатор. На рис. 7.18 показан участок записи, где рысканье достигает экстремума и намного превышает высокочастотный шум, спектр которого нужно проанализировать.
Рис. 7.18. Исходный и отфильтрованный отраженный радиолокационные сигналы.
С этой записи были взяты отсчеты в 320 точках и отфильтрованы с помощью симметричного фильтра (7.3.5) со следующими весами:
a< = a-< = -^(t+tcos-^t)> i=l'2.....т'
где т = 9. Значения в скобках совпадают со значениями окна Тьюки wT из табл. 6.5; они нормируются так, что их сумма равна единице, и вычитаются из весов, дающих тождественное преобразование, чтобы получился высокочастотный фильтр.
Отфильтрованный ряд yt показан на рис. 7.18 вверху, и мы видим, насколько эффективно устранил фильтр низкие частоты.
Были вычислены выборочные ковариационные функции исход ного и отфильтрованного рядов, и затем с помощью окна Бартлетта получены выборочные спектральные оценки при разных значениях точки отсечения L. Выборочные оценки спектра отфильтрованного ряда переставали изменяться, когда L достигало значения 30, в то время как для исходного ряда потребовались гораздо большие значения L. Чтобы сравнить эти два спектра на высоких частотах, на рис. 7.19 приведены выборочные
54
Глава 7
спектральные оценки обоих рядов при одном и том же L. Мы видим, что на высоких частотах исходный ряд дает оценку в 10 раз больше, чем отфильтрованный. Это происходит из-за того, что в исходном ряде мощность на низких частотах очень велика, и происходит ее утечка в высокочастотную часть выборочной оценки, приводящая к большим смещениям.
Имелось несколько записей такого типа с различными степенями рысканья, в том числе и такие, на которых эффекта ры-
O 0,125 0,25 0,375 0,5 f,eu
Рис. 7.19. Выборочные спектральные (не нормированные) оценки исходного и отфильтрованного радиолокационных сигналов.
еканья совсем не было видно. После того как записи, содержавшие эффект рысканья, были отфильтрованы до оценивания спектров, получилось хорошее согласие со спектрами, оцененными по записям без рысканья.
7.4. ПРИМЕРЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
С тех пор как 15 лет назад Бартлетт и Тьюки ввели спект ральные методы, в литературе появилось много сообщений об их применениях в различных областях. Большинство этих применений можно разделить на три широкие категории: построение моделей, планирование экспериментов и изучение частотных характеристик.
Некоторые дальнейшие применения спектрального анализа мы приведем ниже, а в настоящий момент уместно показать, какую пользу может принести знание спектра одиночного временного ряда в этих трех областях.
Примеры одномерного анализа
55-
7.4.1. Построение моделей
Форма спектра иногда выявляет особенности временного ряда, которые должны быть учтены в любой модели, предложенной для этого ряда. Например, наличие пиков в спектре и их величины могут выявить основные периодичности, требующие физического объяснения.
В тех случаях, когда спектры изучаются с целью лучшего понимания физического механизма, порождающего временной ряд. одиночный спектр редко бывает очень полезен. Наиболее важные
0,015
. fc„tgz/v)
O1OlO
0,005
I I I 1
; \
\
j Высокий уровень радиации ч
0,ОЧ 0,080,1 0,2 0,4 0,81,0 2,0 <f,0 8,010 fZ/V
