Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
^(„-#-?+?+?+? + ?+?, (7.3.5)
t=l
где слагаемые в правой части (7.3.5) обозначают вклады в полную сумму квадратов, обусловленные соответственно изменчивостью при повторении, изменчивостью партий сырья, смен, изменчивостью
40
Глава 7
в разные дни, в разные недели и, наконец, различием модификаций. Таким образом,
(X2-X1)2 . [X4-X3)2
_ (Х4 + X3 — X2 — Х\
(X8 + X7- Xs-X5)2
4 ' 4
(X8 + X7 + X5 + X5 - X4 - X3 - X2 - Xi)2
Sm
16
(X32 + *31 + ... + Xi7 — X\s
¦X1)2
32
(*64 + Хвз + . . . + X33 - X32 - X31 - ... - Xi)
64
Видно, что SH получается с помощью коррелирования данных с прямоугольной волной периода 2 и последующим возведением в квадрат. Следовательно, Sr будет велико, если данные содержат сильную периодическую компоненту с периодом 2. Аналогично, Sb увеличилось бы при наличии компоненты с периодом 4 и т. д. В табл. 7.3 приведены вклады в средний квадрат (т. е. в сумму квадратов отклонений, поделенную на N) от каждого из этих источников.
Таблица 7.3
Пробная выборочная оценка спектра для данных о партиях продукта
Источник Вклад в средний квадрат Выборочная оценка спектра Диапазон частот, гц
Между повторениями 99,30 397,20 0,25 -0,50
Между партиями 15,24 121,92 0,125 -0,25
Между сменами 11,77 188,32 0,0625-0,125
Между днями 4,10 131,20 0,0313-0,0525
Между неделями 4,16 266,24 0,0156-0,0313
Между модификациями 0,71 90,88 0,0078-0,0156
В сумму квадратов Sn входят вклады не только от компонент с периодом 2, но, как будет показано в разд. 7,3.5, и вклады от компонент с периодами от 2 до 4, т. е. с частотами от 0,25 до 0,5 гц. Поэтому средняя мощность в интервале частот от 0,25 до 0,5 гц равна 99,30/0,25 = 397,2 (единиц продукции)2Iгц. Аналогично SB дает полную мощность в интервале частот от 0,125 до 0,25 гц, и, следовательно, средняя мощность в этой полосе частот равна
Примеры одномерного анализа
41
15,24/0,125 =121,92 (единиц продукции)2/гц. Выборочная оценка нормированного спектра, полученная из пробного анализа, показана на рис. 7.14 вместе с выборочной спектральной оценкой, полученной с помощью более точного анализа, описанного
є,о
s1o
ч,о
3,0
г,о
1,5
1,0 0,9 0,8
Пробный спектр -
I \
й 125
0,25
0,375 0,5 Г,ги
Рис. 7.14. Пробный спектральный анализ для данных о партиях продукта.
в разд. 7.1.1, причем было использовано окно Тьюки с Af = 12. Видно, что пробная спектральная оценка хорошо согласуется с более точной выборочной оценкой.
7.3.3. Практическая методика оценивания спектров
В этом разделе описана практическая методика, которой следует придерживаться при оценивании спектров. Она состоит из следующих четырех стадий.
1. Предварительная стадия. Исследуем временной ряд с целью обнаружить в нем явные тренды или периодичности. Это полезно для решения вопроса о том, использовать ли исходные данные или же предварительно отфильтровать их, как будет описано
42
Глава 7
в разд. 7.3.5. Особенно полезным и простым фильтром, который мы часто будем использовать в дальнейшем, является фильтр первых разностей
yt = xt — xt-{.
На этой стадии можно было бы провести и пробный анализ. Решается вопрос о числе Lmax запаздываний, для которых нужно считать ковариации и корреляции. Первоначально следует выбрать ¦Lmax примерно равным NJ4, если только это не потребует слишком большого времени на вычисления. В тех редких случаях, когда оказывается, что N/4 значений корреляционной функции недостаточно, следует продолжить вычисление корреляций.
2. Первая стадия вычислений. Затем вычисляются выборочные корреляционные функции для исходных данных и для их первых разностей при k = 0, 1, Lmax. Строятся графики этих функций для того, чтобы решить вопрос, брать ли исходные данные или первые разности от них и какой диапазон точек отсечения использовать. Точки отсечения можно выбрать, проверяя, с какого места выборочные корреляции становятся пренебрежимыми. Три значения точек отсечения Li, L2, L3, которые будут использованы в процедуре стягивания окна, нужно выбирать так, чтобы они отличались довольно сильно, например L3/Lj = 4.
3. Вторая стадия вычислений. Вычисляются и строятся в логарифмическом масштабе на одном графике выборочные спектральные оценки, соответствующие этим трем точкам отсечения. Шаг по частоте надо брать 1/2F, где F ^ 2L или 3L. Нужно нанести на график горизонтальными отрезками значения ширины полосы частот окон (6.4.24), чтобы детали выборочных оценок спектра можно было сравнить с этими значениями. Следует также нанести на график вертикальные отрезки, каждый из которых равен по длине доверительному интервалу (6.4.21) для соответствующей ширины полосы частот окна.
4. Интерпретация выборочных спектральных оценок. Общий график спектров, полученный на 3:й стадии, попадет, вообще говоря, в одну из трех категорий, которые можно назвать: идеальной, промежуточной и плохой.
а. Идеальный спектральный анализ. Исследуется вариация выборочных спектральных оценок при увеличении значения точки отсечения, т. е. при уменьшении ширины полосы частот окна. Если после некоторого значения L* дальнейшее увеличение L сопровождается лишь незначительными изменениями в выборочных оценках, то можно считать, что процедура стягивания окна уже выявила большую часть деталей спектра. Если при этом доверительный интервал для спектра на одной частоте получается достаточно малым, то можно принять выборочную оценку, соответствующую
