Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
3. Оптимальное в любом смысле корреляционное окно, например (7.2.3), будет зависеть от неизвестного спектра Txx(f). Этот недостаток свойствен не только спектральному анализу. Вообще говоря, справедливо правило, согласно которому наилучший план действий должен опираться на некоторые представления об истинном положении вещей. Следовательно, очень важно проводить четкое различие между планированием спектрального анализа до сбора данных и самим анализом данных, после того как они собраны. Мы хотели бы использовать критерий минимума среднеквадратичной ошибки или какой-нибудь аналогичный критерий до проведения спектрального анализа, чтобы решить, например, какой длины нужно взять запись. Но после того как данные собраны, могло бы оказаться, что наши представления относительно Txx(f) были абсолютно неправильны.
Чтобы избежать этого, любой практический метод спектрального анализа должен предусматривать самостоятельный план действий и не зависеть решающим образом от каких-либо существенных предположений относительно Txx(f). Другими словами, данные должны говорить сами за себя.
4. Если бы даже существовали ситуации, когда имелась бы точная информация о Txx(f), подход, использующий критерий оптимальности, указывает лишь, какой способ действия является наилучшим в среднем. Так, оптимальное корреляционное окно (7.2.3) будет наилучшим лишь в среднем [если при этом пользоваться критерием (7.2.2)]. Однако оно, возможно, окажется очень плохим для некоторой конкретной реализации случайного процесса.
Например, один и тот же процесс может дать две реализации одинаковой длины, для которых потребуются совершенно различные значения ширины полосы частот окна, обеспечивающие хорошую выборочную оценку спектра.
Примеры одномерного анализа
27
Эти недостатки существенны, и поэтому требуется более гибкий и устойчивый подход к сглаживанию. Для того чтобы предложить подходящий эмпирический метод сглаживания, необходимо вновь обратиться к общим задачам спектрального анализа и сформулировать их в точном и пригодном для наших целей виде. Это делается в следующем разделе, где вводятся понятия степени искажения и устойчивости. Далее, в разд. 7.2.3 предлагается эмпирический способ сглаживания выборочных оценок.
Общая цель любого спектрального анализа состоит в том, чтобы как можно точнее оценить функцию Txx(f). Для этого требуется выполнение двух услови^
1. Средний сглаженный спектр Txxif) должен как можно меньше отличаться от Txxif), т- е. должно быть малым смещение
Если это требование выполняется одновременно для всех /, то говорят, что Txxif) воспроизводит Txxif) с малой степенью искажения (fidelity).
2. Дисперсия сглаженной спектральной оценки
должна быть мала. Если это верно, то говорят, что оценка имеет высокую устойчивость.
Чтобы проиллюстрировать, что требования уменьшения степени искажения и увеличения устойчивости являются противоречивыми, мы снова вернемся к некоторым эмпирическим выводам разд. 7.1.
Малая степень искажения. Рассмотрим сначала на рис. 7.2 график функции Txxif) Для процесса авторегрессии первого порядка с at = •—0,4. С помощью окна Тьюки можно получить малую степень искажения для частот, меньших 0,375 гц, если взять точку отсечения /. = 8, т. е. ширину полосы частот окна 6 = 1,33/8 = = 0,167 гц. Истинный спектр имеет широкий пик с центром на частоте f = 0,5 гц, и, чтобы получить сравнимую степень искажения в окрестности f = 0,5 гц, нужно взять точку отсечения L = 16, т. е. Ъ = 0,083 гц.
Процесс авторегрессии первого порядка с at = —0,9 имеет гораздо более узкий пик на той же частоте / = 0,5 гц. Из рис. 7.5 видно, что для умеренной степени искажения при использовании окна Бартлетта требуется, чтобы значение точки отсечения L было не менее 48, т. е. ширина полосы частот окна составляла 0,031 гц.
7.2.2. Степень искажения и устойчивость
Bif) = Txx(f)-Txx(f).
28
Г лава 7
Заметим, впрочем, что в этом случае rXx(f) изображена в логарифмическом масштабе, так что степень искажения измеряется величиной
ig rxx(f)
а не величиной
Г**Ш-гхх(/),
как в предыдущем примере. Нам кажется, что степень искажения логичнее измерять в логарифмическом масштабе, а не в линейном, поскольку существенны относительные, а не абсолютные искажения мощности. Отметим, что при L = 32 степень искажения вблизи пика такого же порядка, как и в интервале 0—0,375 гц. Следовательно, в этом случае окно с одной и той же шириной полосы частот подходит для оценивания всего спектра.
Процесс второго порядка на рис. 7.7 имеет более сложный спектр, в котором пик, в отличие от предыдущего примера, расположен внутри интервала частот. На рис. 7.7 показана функция Txx(f) Для окна Парзена, и мы видим, что при L = 32 график воспроизводит пик с малой степенью искажения, в то время как при L = Sh 16 кривые на графиках идут намного ниже пика. Если ширину пика определить как расстояние между точками, где мощность уменьшается до половины пиковой, то в этом случае, как видно из рис. 7.7, ширина равна примерно 0,08 гц. Значения ширины полосы частот окна Парзена при L = 16 и 32 равны 0,11 и 0,06 гц соответственно. Следовательно, при L — 32 полоса частот окна меньше ширины пика, в результате чего и получается малая степень искажения.
