Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
3. Anderson S. L., Box G. E. P., J. Roy. Stat. Soc, B17, I (1955).
4. Haid A., Statistical Theory with Engineering Applications, John Wiley, New York, 1952. (Русский перевод: Хальд А., Математическая статистика с техническими приложениями, M., ИЛ, 1956).
ПРИЛОЖЕНИЕ П3.1
МОМЕНТЫ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
Результаты, выведенные в разд. 3.2.3 для линейных функций от случайных величин, можно записать изящнее в матричных обозначениях. Таким образом, если
Х'=(Х,, X2, . . ., Хя), X'= (X1, X2, . . ., Xn)
являются строками-векторами, а штрих обозначает транспонированную матрицу, то результат (3.2.15)
2 \xt =2 мл*.-]
можно записать в матричной форме в виде
E[WX]=X'E [Х]=Х'|*. где ^ = E [X]=(E [Xx], E[X,], .... E[Xn]).
Аналогично результат (3.2.17)
(ПЗ.1.1) (ГШ.2)
Var 2 \*i = 2 2 x*x;CovI*" (ПЗ.1.3)
J = I J / = 1 J = I
можно записать в матричной форме в виде
Var [Х'Х] = E [X' (X - ц) (X - ц)' X] = к'VX, (ПЗ. 1.4)
где V = .? [(X — ц) (X — (л)'] называется матрицей ковариации случайных величин Xi. Эта матрица имеет вид
Var [X1] CoV[X1, X2] ... COv[X1, Xn]
Cov [X2, X1] Var [X2] ... Cov [X2, Xn]
. (ПЗ.1.5)
,Cov [Xn, X1] Cov [Xn, X2] ... Var [Xn]
Матрица ковариации обладает следующими свойствами: 1) так как Cov [Xi, Xj] = Cov [Xj, Xi], то матрица V симметрична, т. е. V = V';
114
Приложение ПЗ.І
2) так как дисперсия случайной величины всегда неотрицательна, то выражение (ПЗ.1.4) будет всегда неотрицательным при любом выборе X. Отсюда следует, что матрица V является неотрицательно определенной, т. е определители V и всех ее главных миноров неотрицательны.
Наконец, результат (3.2.21) для ковариации между двумя различными линейными функциями от случайных величин Xi можно записать в виде
Cov[X'X, v'X] = X'Vv.
(ПЗ.І.6)
Глава 4
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ
Статистика представляет собой науку обработки данных: как собрать нужный вид данных, как проанализировать их и как использовать результаты анализа для того, чтобы дать разумные практические рекомендации. Раздел статистики, имеющий дело с развитием общих методов анализа данных, называется теорией статистических выводов.
В свою очередь теория статистических выводов состоит из двух частей: критериев значимости и теории оценивания.
В критерии значимости имеющийся набор данных проверяется таким образом, чтобы можно было дать ответ, согласуется ли он с конкретной гипотезой относительно некоторой случайной величины, например является ли эта величина нормально распределенной с данным средним значением ц. и данным стандартным отклонением о. В теории оценивания данные используются для оценки значений параметров некоторой предполагаемой плотности вероятности этой случайной величины и для определения точности выборочных оценок. Последний подход обычно лучше соответствует практическим запросам, чем ограниченный ответ типа «да —¦ нет», даваемый критерием значимости.
В этой главе мы будем различать два подхода к теории статистических выводов, а именно метод выборочных распределений (sampling distribution approach) и метод правдоподобия. Частным случаем метода правдоподобия, имеющим фундаментальную важность при оценивании спектров мощности, является теория наименьших квадратов, обсуждаемая в разд. 4.3. Метод правдоподобия идеально подходит для ситуаций, где по данным нужно оценить небольшой набор параметров. Обладая этим качеством, он не подходит непосредственно для оценивания спектров мощности, которые содержат по существу бесконечное число параметров. Единственный подход, который возможен в этом случае, заключается в использовании выборочного распределения. Однако мы включили метод правдоподобия в эту главу из-за его важности при оценивании параметров в параметрических моделях.
116
Г л. 4. Введение в теорию статистических выводов
4.1. ИСТОРИЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ
ВЫВОДОВ
Теория вероятностей развивалась, чтобы предсказывать до проведения эксперимента вероятность того, что случайная величина X лежит между двумя значениями х\ и X2- По мере развития теории неизбежно стали появляться также и некоторые виды статистических выводов. Статистические выводы имеют дело с задачей, являющейся обратной по отношению к задаче теории вероятностей, а именно: как использовать данные Xu хч, ..., Xn после эксперимента для того, чтобы сделать выводы о свойствах случайной величины X. Предположим, например, что в результате 15 бросаний монеты мы получили 12 гербов и требуется узнать, совместим ли этот результат с предположением о симметричности монеты. Классическое решение этой задачи представляет собой пример одного из ранних способов получения выводов, известного теперь под названием критерия значимости. Решение использует исключительно вероятностные понятия и состоит в вычислении вероятности получения 12 или более гербов при допущении гипотезы, что монета симметрична. Если эта вероятность мала, то она может рассматриваться как веский признак того, что предположение о симметричности монеты ложно; если вероятность велика, то этот результат не противоречит гипотезе о том, что монета симметрична. В упомянутом выше примере вероятность получить 12 или более гербов в 15 бросаниях в предположении, что монета симметрична, равна 0,018, из чего можно заключить, что монета несимметрична.
