Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Другим давно известным способом получения выводов был метод наименьших квадратов, открытый Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855), когда он занимался определением орбит комет по данным наблюдений. В этой задаче положение орбиты дается принятой формой функциональной зависимости, включающей некоторые измеренные величины и некоторые фиксированные константы, или параметры орбиты. Задача оценивания, рассмотренная Гауссом, состояла в определении наилучших оценок этих параметров по данным наблюдений и в нахождении некоторой меры точности этих оценок.
За исключением работы Гаусса, положившей начало исследованиям в этом направлении, большая часть теории статистических выводов была развита в XX веке. В большинстве случаев она возникала в тех областях, которые обычно называют нефизическими науками, таких, например, как биология, генетика и сельское хозяйство. В этих областях экспериментальные единицы крайне изменчивы, например животные, на которых испытывают лекарства или корма, или земля, на которой сравниваются разные сорта пшеницы. Из-за этой большой изменчивости существенный прогресс в экспериментировании был невозможен без развития сложных ме-
4.2. Применение метода выборочных распреоелений
117
тодов статистического анализа и планирования экспериментов, направленных на собирание информативных данных. С другой стороны, проникновение статистических методов в физические пауки происходило медленно. Например, в экспериментальной физике можно с помощью значительных затрат и сложных методов снизить изменчивость от эксперимента к эксперименту настолько, что статистическими вопросами можно будет пренебречь.
В противоположность этому в инженерных исследованиях масштаб экспериментирования гораздо шире — от исследовательских работ в лаборатории через стадию опытных установок до промышленных экспериментов в большом масштабе. В такой ситуации адекватный контроль условий или невозможен, или же неэкономичен, вследствие чего применение статистических методов является жизненно необходимым.
Задачи, встречающиеся в этих экспериментальных областях, стимулировали развитие теории статистических выводов. В этой главе мы обсудим два важных подхода к этой теории. Первый из них имеет своим источником теорию вероятностей и называется методом выборочных распределений. Источником второго является теория наименьших квадратов, и он называется методом правдоподобия.
4.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВЫБОРОЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ К СТАТИСТИЧЕСКИМ ВЫВОДАМ
В этом разделе будет показано, как метод выборочных распределений можно применить, во-первых, к задачам оценивания, а во-вторых, к критериям значимости.
В гл. 3 было показано, что прежде чем получить выборку наблюдений л, х2, ..., Xn, полезно посмотреть на них как на реализацию случайных величин Xi, X2, ..., Xn, определенных на л-мерном выборочном пространстве. С этим выборочным пространством связана плотность вероятности, называемая выборочным распределением, которая, вообще говоря, будет зависеть от набора неизвестных параметров 6Ь 6а, •.., Qu- Например, если случайные величины независимы и нормально распределены со средним значением Bi и дисперсией 02, то выборочное распределение, связанное с данными, будет следующим:
4.2.1. Основной метод
/і2 ••• п ¦ х:
2>
., хп; б,, O2) =
П
^-ехр
(4.2.1)
118
Гл. 4. Введение в теорию статистических выводов
где 61 = \х и Q2 = O2 в использованных раньше обозначениях. Параметры включены в левую часть выражения (4.2.1) выборочной плотности вероятности для того, чтобы показать, что она является функцией не только от х, но также и от неизвестных параметров O1 и 02.
Предположим, что даны наблюдения xi, хг, ¦ ¦., Xn и требуется оценить параметры Qi совместной плотности вероятности случай-
.., Xn- Применение метода выборочных распределений к задаче оце-
ных величин Xi, X2,
нивания можно резюмировать в трех следующих разделах.
1. Выбор формы выборочной плотности вероятности. Сначала делается предположение о разумной форме совместной плотности вероятности наблюдений. Вид этой плотности будет зависеть от
Рис. 4.1. Выборочные распределения для двух оценок.
различных предположении, таких, как независимость случайных величин Xi и вид функций fi(Xi). Ясно, что решения на этой стадии будут зависеть существенным образом от априорных сведений об изучаемой ситуации. Например, если предположение о независимости неоправдано, то некоторые из параметров совместной плотности вероятности могут описывать зависимость между случайными величинами Xi. В некоторых случаях выводы не очень существенно зависят от предположений, сделанных относительно математической формы совместной плотности вероятности. В других же случаях они могут сильно зависеть от этих предположений, следовательно, требуется некоторое статистическое умение и интуиция для установления тонной формы модели.
2. Выбор оценки. Функции в (Xi, X2, ..., Xn) от случайных величин рассматриваются как возможные оценки параметра 0. Каждая такая функция, будучи сама случайной величиной, будет
иметь выборочное распределение /9 (б; 6), зависящее от неизвестной величины 8, которое можно вывести из совместной плотности вероятности данных с помощью методов, описанных в [1]. Выборочная оценка Q(xi, X2, хп), которая получается в конкретном экс-
