Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
4.2. Применение метода выборочных распределений
119
перименте, рассматривается в этом случае как реализация случайной величины 0 (Xu X2, ..., Xn)-
Чтобы сделать выбор между различными оценками, нужно определить критерий оптимальности. Например, из двух оценок G1 и 92, имеющих выборочные распределения, изображенные на рис. 4.1, была бы выбрана, без сомнения, оценка ві, так как f-g (6; 6) теснее
сосредоточена около истинного значения 0, чем fg-(8; 0). Следовательно, для любой заданной выборки Gi будет ближе к 0 с большей
вероятностью, чем 02. Следовательно, если бы выборочные распределения двух оценок были известны точно, то выбор между ними можно было бы сделать, сравнивая вероятности того, что они находятся ближе к истинному значению 0. Однако в большинстве приложений невозможно вычислить точно выборочные распределения. В таких случаях нужно менее детально описывать оценку, например с помощью ее младших моментов.
Были предложены различные критерии, основанные на моментах. Они могут быть использованы для сравнения данных оценок. Важнейшим из этих критериев является критерий среднеквадратичной ошибки, обсуждаемый в разд 4.2.3. Оценки максимального правдоподобия, обсуждаемые в разд. 4.2.4, образуют класс оценок, имеющих наименьшую среднеквадратичную ошибку для выборок большого объема.
3. Доверительные интервалы. Используя выборочное распределение отобранной оценки 6 или приближение к ее выборочному распределению, основанное на младших моментах, можно делать
вероятностные утверждения относительно в, такие, например, как
Pr { - I1 < 0 - Є < I2} = 1 - а,
или, что то же самое,
Рг{(в-/2<б) и (в +/,>в)} = 1 -а.
Следовательно, вероятность того, что случайный интервал между
0 —12 и 0 + h накроет истинное значение 0, равна 1 —а. Соответствующий интервал, основанный на выборочной оценке, а именно
(0 — k, 8-Ні), называют в этом случае доверительным интервалом для 0 с коэффициентом доверия 1 —а. Это означает, что та-кой интервал будет покрывать истинное значение в среднем в 100(1 —а) %, всех случаев.
120
Г л. 4. Введение в теорию статистических выводов
Построение доверительных интервалов является одной из важнейших задач процесса оценивания. Оно обсуждается в разд. 4.2:2. В тех случаях, когда невозможно построить точные доверительные интервалы, очень ценно получить хотя бы приближенные доверительные интервалы, определяющие грубо точность оценки. Метод получения приближенных доверительных интервалов приводится в разд. 4.2.4.
Обсуждение. Следует подчеркнуть логику метода выборочных распределений. Выборочное распределение f^(9; 6) можно использовать для вычисления вероятности того, что значение 0 случайной
величины в лежит между двумя пределами для всех возможных выборок объема п, предполагая, что параметр 0 известен. Следовательно, как обсуждалось в гл. 3, распределение вероятностей дает нам возможность на основании общей модели судить о частной выборке. Однако цель теории оценивания состоит в том, чтобы использовать выборочную оценку 6 для получения утверждений относительно 6, т. е. судить на основании выборки о правильности модели. С этой точки зрения применение метода выборочных распределений в теории оценивания является искусственным в том смысле, что необходимо рассматривать не только конкретную доступную выборку, но и все другие выборки, которые могли бы быть получены. Тем не менее метод выборочных распределений важен и по своему историческому значению, и по следующим причинам.
1. Во многих случаях он приводит к заключениям, очень похожим на те, которые достигаются с помощью других способов получения выводов, таких, например, как метод правдоподобия, описываемый ниже.
2. В ситуациях, где имеет место повторная выборка, например при проверке промышленных деталей, метод, включающий рассмотрение всех возможных выборок, логичен. Однако это уже относится к области теории статистических решений, а не к теории статистических выводов.
3. В тех случаях, когда проблему нельзя свести к задаче оценивания небольшого набора параметров (как, например, в спектральном анализе, включающем оценивание большого числа параметров), метод выборочных распределений дает, по-видимому, единственно возможный подход к задаче.
4.2.2. Доверительные интервалы
Доверительный интервал для среднего значения. Чтобы проиллюстрировать метод выборочных распределений и продемонстри-
4.2. Применение метода выборочных распределений
121
ровать, как строятся доверительные интервалы, предположим, что требуется оценить среднее значение її для данных о токах транзисторов, приведенных на рис. 3.3, используя только девять наблюдений. Будем действовать в три этапа, как указывалось в разд. 4.2.1. На первом этапе нам нужно сделать предположение относительно формы плотности вероятности, которая должна быть связана с наблюдениями. Исходя из гистограммы рис. 3.6, разумно предположить, что наблюдения можно описать с помощью нормальной плотности вероятности. Кроме того, поскольку транзисторы выбирались в случайные моменты времени с поточной линии, разумно считать, что случайные величины независимы. Поэтому предполагалось, что выборочное распределение, связанное с наблюдениями, имеет вид (4.2.1), где |i = Oi и a2 = O2 оба неизвестны.
