Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 40

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 94 >> Следующая

Ю + 2 (3Д8) = (6,82; 13,18).
Так как (хо = 8 попадает внутрь этого интервала, то нулевая гипотеза не отвергается с 5%-ным уровнем значимости. На самом деле, никакая нулевая гипотеза из интервала от 6,82 до 13,18 не была бы отвергнута с этим уровнем значимости. Теперь становится очевидной дополнительная информация, содержащаяся в доверительном интервале. Она показывает, что наш эксперимент был настолько неточным, что даже такие большие значения р., как 13, правдоподобны. В этом случае единственное разумное заключение состоит в том, что требуется больше данных для того, чтобы оценить р точнее.
134
Г л. 4. Введение в теорию статистических выводов
4.3. ОЦЕНИВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
4.3.1. Принцип наименьших квадратов
Принцип наименьших квадратов был открыт немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом, который опубликовал свою первую работу по этому вопросу в 1821 г. и затем возращался к нему неоднократно в течение всей своей жизни. Его принцип наименьших квадратов представляет собой одно из первых крупных достижений в статистике, и даже на сегодняшний день он является одним из самых мощных методов, имеющихся в распоряжении статистиков.
Предположим, что выход т) некоторой системы может быть предсказан по k входным переменным xi, х% ..., Xk с помощью некоторой предполагаемой линейной модели
T1 = S1JC1 + Q2X2 + ... + ЄЛ. (4.3.1 >
Например, т) могло бы быть выходом некоторого химического процесса, X — переменными процесса, такими, как температуры, давления и скорости потоков, a 8i, 82.....8? — неизвестными физическими параметрами, такими, как кинетические константы.
Линейная теория наименьших квадратов имеет дело с оцениванием параметров 0Г по данным, состоящим из одновременных измерений входных и выходных переменных. Значения, полученные в результате оценки параметров, можно подставить в (4.3.1) и полученное при этом выражение использовать для предсказания выхода при тех значениях входных переменных, которые появятся в будущем.
Заметим, что уравнение прогноза (4.3.1) не обязательно должно быть линейным по Xu xz, ¦.., Xh, а лишь по параметрам 6. Например, если Xi = 1, хг = х, ..., Xu = то т) является полиномом по X степени k— 1. Если же выход является нелинейной функцией параметров, то описываемые в этом разделе методы легко видоизменить [6] для оценивания параметров с помощью итераций линейного метода наименьших квадратов.
На практике можно наблюдать лишь отклик г), искаженный некоторой ошибкой z. Такое искажение неизбежно из-за ошибок измерения и из-за изменчивости, которую невозможно контролировать. Если модель не вполне соответствует действительности", то ошибка может иметь систематическую компоненту, обусловленную этим несовершенством модели. Поэтому окончательный вид модели следующий:
V1 = V1 + Z1 = B1X11 + e2x/2 + ... + ^x ik + Z1, (4.3.2)'
где
a) Yt (i = I1 2, ..., N)—случайная величина, соответствующая измеренному отклику уг в t'-м эксперименте;
4.3. Оценивание с помощью наименьших квадратов
135
б) хц, Хц, ..., Xik — значения, принимаемые входными переменными Xi, хг, ¦ ¦., Xh в J-M эксперименте;
в) Zi—-случайная величина, представляющая ошибку, причем E [Zi] = O.
Заметим, что если ошибки имеют отличное от нуля среднее значение 01, то это можно учесть, считая X1I=I в (4.3.2).
Теорема Гаусса. Подход с помощью метода наименьших квадратов к задаче оценивания содержится р фундаментальной теореме Гаусса. Она утверждает, что если ошибки Zt некоррелиро-ваны, т. е. Cov [Zi, Zj] = O при іф\, и имеют нулевое среднее значение E[Zi] = Q и одинаковую дисперсию E[Z^] = аг, то оптимальными выборочными оценками параметров 0Г являются значения 0Г, минимизирующие сумму квадратов расхождений между наблюденными значениями и подбираемой моделью, т. е. сумму квадратов
N
S (9,, B3, . . ., Bk) = 2 (у, - S1Xn - B2X12 - ... - Bkxikf. (4.3.3)
Как показано в приложении П4.1, выборочные оценки 0Г оптимальны в том смысле, что для любой линейной функции
A = X1O^X2O2 + ... +хл
оценка
Z = X1O1 +X2O2+ ... + x,eft
имеет наименьшую среднеквадратичную ошибку.
Выборочные оценки наименьших квадратов 8r (r=l, 2, ..., k)
можно получить, дифференцируя S (01, 02, ..., 0Г.....Эй) по 0Г и ре-'
шая получившуюся систему из k уравнений:
N
2 X1^y1-B1Xn- . . .-eftx;ft} = 0, r=\,2,...,k, (4.3.4)
I = X
которые обычно называются нормальными уравнениями.
Пример. Чтобы проиллюстрировать метод наименьших квадратов Гаусса, рассмотрим ускорение тела, начинающего движение из состояния покоя под действием постоянной силы. Модель в этом случае имеет вид
Tj = Bx,
где ч -—скорость тела по истечении времени х. Был проведен эксперимент, в котором скорости iji (i=l, 2, ..., N) тела замерялись в различные моменты времени х%. Измерение моментов времени
136
Гл. 4. Введение в теорию статистических выводов
Xi производилось очень точно, в то время как скорость измерялась с ошибкой. Поэтому в качестве вероятностной модели нашего эксперимента можно взять
Y1 = U1^Z1. (4.3.5)
300
t, сек
Рис. 4.3. Данные «скорость—время» и линия регрессии, полученная методом
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed