Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 30

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 94 >> Следующая

3.3.1. Выборочное распределение среднего значения в случае, когда дисперсия известна
Приведем простейший пример выборочного распределения. Пусть производится п независимых измерений некоторой переменной, например обратного коллекторного тока в транзисторе. В этом случае совместная плотность вероятности просто равна
/,2-..,,(*,, X2.....ха) = Z1(X1)/2(х2) . . . Zn(Xn). (3.3.1)
Предположим, что нас интересует изменчивость выборочного среднего этих измерений. Тогда если предположить, что каждая X1-распределена как ІУ(ц, а2), то можно показать [2], что плотность вероятности среднего арифметического значения случайных вели-
_ п
чин X = (\/п) ^Xi будет распределена как N(\x, G2Jn), т. е.
(3.3.2) называется выборочным распределением среднего для нормальных случайных величин. Частотная интерпретация, которую можно применить к (3.3.2), заключается в следующем. Если представить себе очень большое число экспериментов, каждый из которых состоит из п независимых измерений, взятых из нормальной популяции с N(n, о2), то гистограмма распределения х стремилась бы к нормальному закону (3.3.2).
Выборочное распределение выборочного среднего обычно очень близко к нормальному, даже если отдельные распределения
3.3. Выборочные распределения
103
/і (xi), ..., fn{xn) сами не являются нормальными. Этот важный результат следует из центральной предельной теоремы [2].
Выборочное распределение, подобно любому другому распределению, можно описать с помощью его моментов, обычно называемых выборочными моментами. Например, выборочное распределение среднего нормальных случайных величин (3.3.2) полностью ¦описывается с помощью выборочных моментов
Var [X]=I-.
(3.3.3)
Частотная интерпретация, которую можно дать этим моментам, состоит в том, что среднее из большого числа выборочных средних будет лежать очень близко к среднему значению популяции, или теоретическому значению р, и что изменчивость выборочных средних от выборки к выборке характеризуется дисперсией а2/п.
Одно из основных применений выборочных распределений состоит в том, что они позволяют делать вероятностные утверждения относительно случайных величин, таких, как X. Например, рассмотрим выборку из 9 зна-
Таблица 3.4
Вероятности, относящиеся к нормированной нормальной плотности
чений Xi (i = 1, 2, ..., 9) случайной величины X, про которую известно, что она распределена нормально с единичной дисперсией, но неизвестным средним значением }х. Из (3.3.2) и (3.3.3) получаем, что случайная величина X распределена нормально с E Щ = ц и Var [X [^ 1 г
— ~д~- Следовательно, воспользовавшись приводимыми в табл. 3.4 вероятностями, относящимися к нормальному закону, можно
подсчитать вероятность того, что наблюденное значение х случайной величины X будет лежать в заданном интервале. Например,
Vq і
или
Pr { ц - 0,653 < X < і* + 0,653 I = 0,95.
7I Pr {— T) < У < T1J а = площади вне интервала (-•<], +п)
1,00 0,683 0,317
1,96 0,950 0,050
2,00 0,954 0,046
2,58 0,990 0,010
3,00 0,997 0,003
Pr
р. -
1,96 , -у ^
104
Гл. 3. Теория вероятностей
Это означает, что если случайная величина X распределена нормально со средним значением \х и дисперсией 1, то с вероятностью
0,95 случайная величина X будет лежать не дальше, чем на ±0,653 от \х. Частотная интерпретация этого факта состоит в том, что из большого числа выборок, каждая из которых состоит из 9 реализаций X, приблизительно одна из двадцати выборочных оценок х будет отличаться от истинного значения и. больше, чем на 0,653. Обратная и более трудная задача получения выводов относительно
и. по данному значению х обсуждается в гл. 4.
3.3.2. Выборочное распределение дисперсии
Выборочное распределение среднего представляет собой распределение суммы случайных величин. Следующее простейшее выборочное распределение — распределение дисперсии нормальных случайных величин — представляет собой распределение суммы квадратов случайных величин X2+X2,+.. . + Х2п . Предположим,
например, что имеется п независимых измерений из N(0, 1)-популяции и требуется найти выборочное распределение случайной величины
Xl = Х\ + Xl + . . . + Xl. (3.3.4)
Распределение %\ называется ^-распределением с п степенями свободы. Общий вид плотности вероятности х2-распределения с V степенями свободы следующий: .
/X2W= 2,/2J^2) -*(v/2)-'exp(-^-) (0<x<TO), (3.3.5)
со
где Г(v/2) = Jе~Ч(у/2^ dt— гамма-функция от аргумента v/2, о
Графики зависимости fx2v(x) от х для v= 1, 2, 3 и 10 приведены на рис. 3.9. Для v= 1 плотность вероятности имеет бесконечную ординату при х = 0 и стремится к нулю, когда х стремится к бесконечности. Для v = 2 плотность вероятности является экспонентой, а для V 5= 3 плотность вероятности принимает унимодальную форму. Заметим, однако, что для малых v распределение очень несимметрично. По мере того как v возрастает, плотность вероятности начинает выглядеть все более и более похожей на нормальную, как это и предсказывается центральной предельной теоремой.
Первые два момента случайной величины х2, полученные из (3.3.5), равны
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed