Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 37

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 94 >> Следующая

В = е[Щ-Ь. (4.2.7)
Если В = 0, то плотность вероятности оценки имеет своим центром в точности истинное значение 8, и оценка называется несмещенной. Естественно выбирать оценку с малым или нулевым смещением, однако, как мы вскоре увидим, не всегда разумно настаивать на том, чтобы оценка была несмещенной.
Дисперсия.Дисперсия оценки
Уаг[в] = ?[(в-?[в])2] (4.2.8)
?•Ni
измеряет рассеяние плотности вероятности случайной величины О относительно ее математического ожидания, и, следовательно, вообще говоря, дисперсия должна быть небольшой. Однако требования малого смещения и малой дисперсии не обязательно совместимы, и часто уменьшение одной из этих величин влечет за собой увеличение другой. Рассмотрим, например, оценки
п
51=4-2 to- ХУ <4-2^)
»•=1
4.2. Применение метода выборочных распределений
125
для дисперсии о2 нормальной плотности вероятности. Так как
п —
(1/о2)2]№ — ^)2 является случайной величиной %2V с v = n—1,
то, воспользовавшись (4.2.7) и (3.3.6), получаем, что смещение этой оценки равно
Bk = {n~\~ky> (4.2.10)
а из (3.3.6) получаем, что
Var[si}=^P±o\ (4.2.11)
Таким образом, несмещенная оценка для а2 получается при k = = п — 1, и в этом случае
Var [^_,] = -^V.
С другой стороны, дисперсию оценки (4.2.9) можно уменьшить, сделав k большим. Однако увеличение k приводит к увеличению смещения, которое стремится к —а2, когда к —*-оо. Ясно, что необходимо найти компромисс между дисперсией и смещением.
Среднеквадратичная ошибка. Один из видов компромисса между дисперсией и смещением дает минимизация среднеквадратичной ошибки оценки, а именно
?-[(в-е)2] = Уаг[е] + Я2. (4.2.12)
Для упомянутого выше примера среднеквадратичная ошибка равна
2(п-1) 4 , (я-1-*)2 .4 -В-а <--W- 3 •
Это выражение достигает минимального значения 2a4/(«-f 1) при k = n+\ по сравнению со среднеквадратичной ошибкой 2a4 (п— 1) для несмещенной (k=n— 1) оценки.
В некоторых случаях среднеквадратичная ошибка достигает минимума при нулевом смещении, т. е. одновременно с дисперсией. Такие оценки называются несмещенными оценками с минимальной дисперсией.
Одна из трудностей, связанных с использованием критерия среднеквадратичной ошибки, состоит в том, что он дает нам возможность лишь сравнить данные классы оценок, но он не говорит нам, как следует выбирать эти оценки. Впрочем, один класс оценок, удовлетворяющих свойству минимальности среднеквадратичной ошибки для больших выборок, можно найти из функции
126
Гл. 4. Введение в теорию статистических выводов
правдоподобия, введенной Фишером. Эти оценки обсуждаются в разд. 4.2. Они сыграли важную роль в статистическом оценивании, так как становятся несмещенными для выборок большого объема и имеют также минимальную дисперсию среди всех возможных, оценок. Следовательно, для выборок большого объема оценки максимального правдоподобия являются оценками с минимальной среднеквадратичной ошибкой.
Состоятельность. Другим свойством оценок, опирающимся на выборочное распределение, является состоятельность. Предположим, что смещение и дисперсия оценки стремятся к нулю, когда объем выборки п становится большим. Это означает, что выборочное распределение концентрируется вокруг 0 и точность оценки безгранично возрастает. Оценка, обладающая этим свойством, называется состоятельной оценкой.
Например, если выборочное распределение стремится к нормальному, что обычно справедливо при довольно общих условиях, то оно будет для больших п близким к
Когда п стремится к бесконечности, эта функция ведет себя подобно б-функции, сосредоточенной в 0.
4.2.4. Оценки максимального правдоподобия
Функции правдоподобия, зависящие от одного переменного.
Задача нахождения хорошей оценки для статистического параметра была решена для многих случаев Фишером [2, 3], который ввел класс оценок максимального правдоподобия. Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим задачу оценки среднего срока службы партии осветительных ламп. Предполагается, что срок службы одной лампы хорошо описывается с помощью случайной величины X с плотностью вероятности
/х(х; Х) = Хехр(—- Ъс), 0<.х^оо.
Отсюда выборочная плотность вероятности для случайной выборки, состоящей из п ламп, будет иметь вид
/12 ...„(•*!, х2, . . ., Xn) =Х" ехр {— X 2 x)j . (4.2.13)
До того как произведен эксперимент, плотность вероятности (4.2.13) дает частоту получения различных выборок при условии, что Я задано. После того как эксперимент произведен, его можно интерпретировать по-разному. В нашем случае значения выборки
4.2. Применение метода выборочных распределений
127
jci, Х2, .. ¦, Jtn известны, а параметр X неизвестен. Зависящая от X функция, которая получается при подстановке выборочных значений в плотность вероятности (4.2.13), называется функцией правдоподобия L {X) для параметра X. Она выражает предпочтительность различных значений X.
Например, предположим, что три лампы выбраны случайным образом из партии, проверены, и в результате проверки оказалось, что их сроки службы равны 2,6; 1,9 и 1,5 час соответственно. Так как 2^==6, то функция правдоподобия имеет вид
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed