Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 39

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 94 >> Следующая

131
называется количеством информации Фишера *>. Его интерпретацию мы продолжим в разд. 4.4.
4.2.5. Критерии значимости
Другой вид выводов, включаемый в рамки метода выборочных распределений, представляет собой критерий значимости. Он дает возможность вынести решение о том, справедлива или нет некоторая гипотеза относительно статистических параметров. Например, иногда нужно проверить, совместима ли некоторая выборка наблюдений Xu Х2, ..., Xn с гипотезой о том, что они получены из нормальной плотности вероятности с некоторыми заданными значениями цо, сг2 среднего и дисперсии.
Во многих случаях, когда применяют критерии значимости, лучший ответ на задачу можно было бы получить с помощью оценивания параметров и вычисления доверительных интервалов. В этом разделе мы приведем простой пример критерия значимости и затем покажем, как можно было бы получить несколько большую информацию, рассматривая нашу задачу как задачу оценивания.
Понятие критерия значимости восходит к первым работам по теории вероятностей. Систематическая теория критериев значимости была разработана до некоторой степени независимо, с одной стороны, Фишером, а с другой стороны, совместно Нейманом и Пирсоном. Двое последних включили идею критерия значимости в теорию, названную ими теорией проверки гипотез. Описание этой теории дается в [4].
Этапы построения критерия значимости. Проиллюстрируем этапы построения критерия значимости на примере с транзисторами из разд. 4.2.2.
1. Выдвигаем нулевую гипотезу Но, например, что ток коллектора для партии транзисторов распределен нормально со средним значением ро, но с неизвестной дисперсией.
2. Определяем конкурирующие гипотезы. В нашем примере в качестве таких гипотез было бы естественно взять предположение р>ро, поскольку желательно было бы забраковать партию, если средний ток коллектора был слишком высокий.
3. Решаем вопрос о наилучшей функции от наблюдаемых данных, или статистике, с помощью которой будем проверять гипотезу. Если дисперсия известна, то, как можно показать [4], наилучшей
*' Точнее было бы в последней формуле и в (4.2.25) брать производную в точке 8 — точке истинного значения параметра.—Прим. перев.
5*
132
Г л. 4. Введение в теорию статистических выводов
статистикой является среднее X. Если дисперсия неизвестна, как в нашем примере, то наилучшей статистикой является
і „ — s
4. Выводим выборочное распределение этой статистики при условии, что нулевая гипотеза верна. В нашем примере это будет /'-распределение Стьюдента с v = n— 1 степенями свободы.
5. Пользуясь (4) и (2), можно затем разделить выборочное пространство ff на две части: критическую область G и область принятия гипотезы ff— Q , состоящую из всех точек выборочного пространства, не принадлежащих критической области G . Критическая область выбирается так, что вероятность Pr(Xi, jc2, ..., Xn лежит в G I H0 верна} = а, где а мало, скажем 0,05 или 0,01. Вероятность а называется уровнем значимости критерия.
6. Наконец, критерий значимости заключается в том, что нулевая гипотеза отбрасывается, если наблюденная выборка хі, хг, ... ..., Xn попадает в G , и не отбрасывается, если выборка попадает в ff — G- Поскольку вероятность попадания выборочной точки в Q при условии, что H0 верна, мала, то любой случай, когда она туда попадает, рассматривается как довод против нулевой гипотезы.
В нашем примере в силу того, что Pr{Tv>tv(\ — а)}=сс, критическая область определяется неравенством
> (1-а)
или же
- St ,(1-а)
Vn
Пример. Предположим, что п — 4, л; = 10 и s = 2 и нужно проверить гипотезу Po = 8 с уровнем значимости а = 0,025. Из рис. 3.11 находим 4(0,975) =3,18, и, следовательно, критическая область имеет вид
8 +!М-= 11,18.
Поскольку настоящее х лежит вне критической области, нулевая гипотеза не отвергается с 2,5%-ным уровнем значимости.
ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО Конкурирующие ГИПОТеЗЫ |Л>|Ло и ц<ц.0
одинаково важны. Например, если вес некоторого фасованного товара должен быть равен заданной величине ро, то могли бы быть одинаково важными случаи недовеса и перевеса в конкретной вы-
4.2. Применение метода выборочных распределений
133
борке. В таком случае разумно выбрать критическую область в виде
*>*„_,(!-4-), t<-tn_A\--.
2
т. е.
х>Н +-Л- , *<ft>--Л- ' • (4.2.27)
у п уп
Для нашего примера при jj,0 = 8 получаем критическую область
х> 11,18, Зс<4,72.
Так как наблюденная величина х=10 не лежит в критической области, то нулевая гипотеза не была бы отвергнута с 5%-ным уровнем значимости. Такой критерий называется двусторонним критерием значимости в противоположность упоминавшемуся выше одностороннему критерию.
Доверительные интервалы и критерии значимости. Чтобы продемонстрировать соотношение между критерием значимости и доверительным интервалом, заметим, что доверительный интервал (4.2.3) для (х имеет вид
<.-(>
St _ ,11
X + -
Поэтому если (Xo лежит внутри доверительного интервала, то, согласно (4.2.27), нулевая гипотеза не отвергается, а если [хо лежит вне доверительного интервала, то нулевая гипотеза отвергается. В нашем примере 95%-ный доверительный интервал имеет вид
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed