Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
3.3. Выборочные распределения
109
к значениям 1,96 и 2,58, являющимся 95%-ной и 99%-ной границами для нормированной нормальной плотности вероятности.
Чтобы проиллюстрировать использование кривых на рис. ЗЛІ, предположим, что нужно произвести, как и в примере разд. 3.3.1,
30
20
W
9 8 7
в ІСМ S
І. 5
3 2,5 2
1,(0,335)=63.1
\- —I
1,99
(0,975 Щ
IC
і 2 3 4 5 S 7 8 9/0 (5 ZO ZS 30 40 SO 60 708090
V
Рис. 3.11. Графики зависимости t (1—а/2) от v для (1—а)=0,99; 0,95.
9 измерений из N(\i, а2)-популяции. Тогда, согласно рис. 3.11, следует ожидать, что случайная величина "(/9 (X — їх)/S будет лежать в интервале (—2,3; +2,3) в 95% случаев. Заметим, что соответствующий интервал в случае известного о, найденный из табл. 3.4, есть (—1,96; +1,96). Этот интервал примерно на 15% уже.
3.3.4. Выборочное распределение отношения двух дисперсий
Другое важное выборочное распределение появляется, когда требуется сравнить выборочные оценки дисперсий S2 и s2, полученные из двух независимых выборок объема п\ и п2 соответственно. Если выборки производятся из двух популяций, распределенных как N (рь о2) и N (ц,2, а22), то из разд, 3.3.2 следует, что ViS2 /а2 есть
случайная величина x2v с vi = «i—1 и аналогично V25|/(t2 есть
110
Гл. 3. Теория вероятностей
случайная величина %2 с V2 = (I2— 1. Если и независимы, то плотность вероятности отношения
?2 .,2
(3.3.13)
называется F-распределением Фишера с vi и V2 степенями свободы.
^-распределение является двупараметрическим выборочным распределением, причем Vi дает число степеней свободы числителя,
°261 a2 S2
ZO Z5 30 кО
80 WQ
Рис. 3.12. Графики зависимости / V2(0,95) от (v,, v2).
a V2 — знаменателя. Когда Vi и V2 оба велики, плотность вероятности случайной величины F концентрируется около единицы. Однако для малых значений vi или V2 плотность распределяется до очень далеких от 1 значений.
На практике теоретические дисперсии о2 и с2, которые появляются в (3.3.13), не будут известны. Однако если предположить, что о2= с2, то из (3.3.13) следует, что S2JS2, распределено как
F4 v. Если же а2 ф а2, то S2JS2 будет распределено как (o2/o2)Fv и, следовательно, распределение будет концентрироваться около значения о2/а2, а не 1.
Рис. 3.12 показывает 0,95-вероятностные точки для распределения F1 , , т. е. значения / (0,95) такие, что
Pr IЛ,. ,,</,,. ,,(0,95) }= 0,95.
3.3. Выборочные распределения
lit
Заметим, что так как F = l/F , значения / и / можно
V|, V2 V2, Vi V|, V2 V2, Vi
использовать для построения вероятностных интервалов для случайной величины F . Таким образом,
Vi1 V2 г
Pr { /.,.,,U,) < < А, „ (0-95)) = 0,90.
Например, если Vi = 4, V2 = 20, то из рис. 3.12 получаем Pr 1 Л, го < 2,9} =0,95; Pr і F20,4 < 5,9 ) = Pr {Ft, 20 > 0,17 ) = 0,95.
Следовательно,
Pr { 0,17 < F4t20 < 2,9} =0,90.
3.3.5. Два свойства ^-распределения
Приближение с помощью ^-распределения. ^-распределение занимает центральное место в вопросах приближения распределений сглаженных оценок спектральной плотности. Вообще, случайная величина полезна для приближения случайной величины, скажем Y, принимающей только положительные значения. Предположим, например, что требуется аппроксимировать плотность вероятности положительной случайной величиной У с помощью плотности вероятности случайной величины а%2, где а и v пока не определены. Предполагается, что первые два момента Y даны. Тогда, если их приравнять первым двум моментам а%2, которые можно
вывести из (3.3.6), то получим
E [K]=av, Var [Y] =2a2v.
Решая эти уравнения относительно а и v, получаем
<3-3-м>
а = -^р~, (3.3.15)
откуда получаем параметры аппроксимирующего %2-распределения, выраженные через первые два момента Y.
Теорема разложения для случайных величин, подчиняющихся Х2-распределению. Предположим, что случайная величина %2 разлагается на k случайных величин %2 в виде
і
Xv Xv, ) Xv2 1 • • • I Xv^ *
112
Литература
Тогда можно показать [4, 7*], что если
+ V2+ ... +vA = v,4 (3.3.16)
то x2v взаимно независимы. Обратно, если х\ независимы, то имеет место (3.3.16).
Простое приложение этого очень важного свойства состоит в следующем. Предположим, что Xi, X2, ..., Xn — п независимых случайных величин, распределенных KaKjV(O, 1). Тогда
1 = 1 1 = 1
В левой части равенства стоит случайная величина %гп, а первый
член в правой части, будучи квадратом величины, распределенной как jV(0, 1), является величиной %2. Теперь можно проверить, что
случайные величины X и Xi — X независимы и, следовательно, две случайные величины в правой части независимы. Результат (3.3.16) в этом случае утверждает, что второй член распределен как X2^1-
ЛИТЕРАТУРА
1. Fisher R. A., Y a t е s F., Statistical Tables, Oliver and Boyd, London, 1938.
2. Parzen E., Modern Probability Theory and its Applications, John Wiley, New York 1960.
