Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Второй этап заключается в выборе оценки для среднего значения ц,. В качестве оценок можно было бы выбрать среднее арифметическое
X = ^(X1 + X2 + . . . +Xn) (4.2.2)
и медиану, которая является «средним» наблюдением в выборке. Например, медиана для приведенных ниже данных о транзисторах равна 3,12. Можно показать [5], что для выборочной плотности
вероятности (4.2.1) «наилучшей» оценкой является среднее X потому, что оно имеет наименьшую среднеквадратичную ошибку и вероятность его нахождения в заданной близости от ц, является наибольшей.
Третий этап состоит в определении доверительного интервала
для р,, основанного на выбранной оценке X. Как показано в разд. 3.3.3, если о неизвестно, следует использовать случайную величину
і „ — J -,
выборочное распределение которой является ^-распределением Стьюдента с v = п—1 степенями свободы. Следовательно,
Рг( _,,(,_ + < _ .$.)}_, _.
или
Рг{^-^(1-^)-^-<, и X + ^(l~i-)^>,} = l-a.
Таким образом, вероятность того, что интервал X±tv[\ —
— (а/2)](5/У/г) накроет истинное значение р., равна 1 — а. Следовательно, 100(1—а)%-ный доверительный интервал для д.„
122
Гл. 4. Введение в теорию статистических выводов
основанный на выборочных оценках х и s, полученных по данной выборке, имеет вид
Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что значения тока в мка для девяти транзисторов, выбранных случайно с поточной линии, равны
1,73 3,81 3,12
3,00 3,48 1,68
3,64 4,91 0,39
так что
2jc = 1,73 + 3,00+ . . . +0,39 = 25,76
и
2 X2 = (1,73)2 + (3,0O)2+ ... +(0,39)2 = 88,6860. Таким образом,
* = ^=2,86
s2= 88,686 - 9 (2,86)2 =_6|i = 0)86i s = 093_
Отсюда, используя (4.2.3) при х = 2,86; S = 0,93; п = 9 и значение 4(0,975)=2,31 с рис. 3.11, получаем, что 95%-ный доверительный интервал для и. имеет вид
(2,86 - 0,77 • 0,93; 2,86 + 0,77 ¦ 0,93),
т. е. (2,15; 3,57).
Интерпретация этого 95%-ного доверительного интервала заключается в том, что если для большого числа повторных выборок строить такие интервалы, то в 95% всех случаев они будут накрывать истинное значение ц.
Заметим, что для этого примера можно построить бесконечное число доверительных интервалов с коэффициентом доверия 1—а. В этом случае, выбирая интервал, симметричный относительно выборочного среднего, мы получим самый короткий интервал.
Доверительные интервалы для дисперсии. Чтобы построить доверительный интервал для дисперсии а2 нормальной плотности вероятности, воспользуемся тем фактом, что выборочное распределение (п—I)S2M2 совпадает с распределением случайной величины
4.2. Применение метода выборочных распределений
123;
¦4
X2. Поэтому, воспользовавшись рис. 3.10, можно найти такие пределы Ii и /г, что
Pr{/i<-§-<'2}=l -*
или
Prj(/252>a2) и (/,52<а2)) = 1 -а
Следовательно, 100(1—а)%-ный доверительный интервал, основанный на выборочной оценке s2, имеет вид
(/,S2, Z2S2). (4.2.4)
Для данных о токе коллектора s2 = 0,86; воспользовавшись рис. 3.10, получаем /i = 0,36; /2 = 5,95, если а = 0,05. Следовательно, 95%-ный доверительный интервал для о2 имеет вид (0,36-0,86; 5,95-0,86), т. е. (0,31; 5,11). Отсюда следует, что 95%-ный доверительный интервал для о имеет вид (0,56; 2,26).
Доверительные интервалы для отношения двух дисперсий. Если S2 является оценкой для о2 с vi степенями свободы, a S2 — независимая оценка а2 с V2 степенями свободы, то, как показано-в разд. 3.3.4, выборочное распределение случайной величины
si/4
является F v -распределением Фишера. Следовательно, как показано в разд. 3.3.4,
Pr J f < F„ „ < А . (1 - T-) J = 1 - «• (4-2.5>
Подставив F v = о2S2/о2S22 в (4.2.5) и перегруппировав члены, получим
2
Следовательно, 100(1 — а)%-ный доверительный интервал, осно-ваный на выборочных оценках s2 и s2, полученных из двух независимых выборок, имеет вид
2 2 s2__1_ 52 г /,__а
Zv2, ¦., ( 2
(4.2.6>
124
Г л. 4. Введение в теорию статистических выводов
Например, для данных о токах транзисторов s2 = 0,86, а число
степеней свободы vi = 8. Для выборочной дисперсии другой выборки из 100 транзисторов была получена величина s2 = 1,025,
причем число степеней свободы V2 = 99. Из рис. 3.12 находим, что /в,я9(0,95) = 2,05; /99,8(0,95) = 3,01, и поэтому, подставив эти значения и отношение S2Js\= 1,025/0,86= 1,16 в (4.2.6), получаем 90%-
ный доверительный интервал для ст2/о2:
(Мб-^; 1,16 ¦2,05J,
или же (0,39; 2,38). Так как этот доверительный интервал включает отношение о2/а2= 1, то возможность а2 = а2, не должна исключаться.
4.2.3. Свойства оценок
В разд. 4.2.1 было показано, что лучшую оценку параметра можно выявить, сравнивая выборочные распределения различных оценок. Иногда невозможно вывести точное выборочное распределение, и в таких случаях необходимо прибегнуть к помощи приближенных методов для отбора оценок. Эти методы используют свойства, определяемые младшими моментами оценок. Важнейшими из этих свойств являются смещение, дисперсия и среднеквадратичная ошибка.
Смещение. Смещение оценки в параметра 6 определяется как
