Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
квадратичная, так что ошибка уменьшается по мере увеличения степени е в
процессе вычисления итераций. Для того, чтобы это утверждение было
верным, не требуется даже аналитичности рассматриваемого отображения, а
лишь существование конечного числа производных.
6. Обобщение процедуры усреднения, нормализация Биркгофа и
дополнительные интегралы
В большинстве случаев, когда применяется метод усреднения, основное
предположение заключается в том, что гамильтониан является периодической
функцией по каждой из угловых переменных у 1, . .., уп. Как было видно из
§ 4 настоящей главы, понятие условно-периодических функций было некоторым
небольшим обобщением понятия периодичности по каждой из переменных,
применявшихся в соответствующих определениях понятия усреднения. Такие
предположения напоминают о тех специальных областях, для которых были
развиты эти методы: небесная механика и теория колебаний в механических и
электрических системах.
Для того чтобы найти более общий подход к решению нужных задач, подход,
при котором не надо проверять перечисленные выше гипотезы
(предположения), рассмотрим сначала простой пример. Пусть функция
Гамильтона имеет вид
Н{у 1, г/2, Xi, Х2) =¦ Н0 -(- Н\ -(- Н2 + ...,
где
#о = А1г (ж? + у\) + ^ ^22 (х2 + 2/1) А12 (хгх2 + J/iJ/*)"
Нр НР(Уь J/2, 2-1, Х2) (р . 1, 2, 3, ...).
6. НОРМАЛИЗАЦИЯ БИРКГОФА
Здесь Нр - однородные полиномы степени р + 2. Решение "главной" части
задачи получается сразу же, если можно уничтожить члены Х\Х2 -f- Uil/2-
Вообще говоря, это весьма легко можно сделать с помощью линейного
канонического преобразования (у, х)->- (г), |):
2 2
~ 2 Лу 2 >
k=i k=i
где, например, можно положить
а\2 = -412, Й22 = -422 - -4ц, (Zn ='(1 + Cli2a2l) 1а22,
0*21 == (-4-12^22 -4-22^12)/(-4-22^12 ^11^22 24.22^12^22)
'
если исключить случай Аи - А22, когда выписанное преобразование
становится особенным. Разумеется, этот один особый случай много легче
исследовать отдельно. В общем случае гамильтониан принимает вид
Н = Н0 + Нх + Н2 + ..
где Н0 = Аг (?1 + ir|i) -1- А2 (|1 + til), a Hi, Н2, ... опять являются
однородными полиномами степени 3, 4, ... относительно 1ь %2, Ль Лг- Также
можно написать
А1 - ~2 (^naii + 4,2a2i + 2я11а21.А12),
А2 = -g- + 422 а|г + 2а12а22Л12).
Решение уравнения Гампльтона - Якоби
получается сразу же. Естественным образом выбирая
F0 = Ага 1 -f- 42al,
находим 5 = 5i + S2, где
(^-)2 + Л^ = "1 (* = 1,2),
и, следовательно,
af = Щ. + Ль, Рй = (Ш + 4)т arcsin {r\k/ak).
80
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Обратное преобразование имеет вид
Tifc = ос* sin-Ь, gk = aft cos (Л = 1,2).
k k
Главная часть функции Гамильтона запишется так:
Н0 = F0 = Aj_a\ + А2<Х2,
а вся функция Гамильтона может быть в общем виде представлена как сумма
членов
+ (2.6.1) m\ "i 1 "2(/
p qCOS( P
ОСнОС? .
sm
Решение нулевого порядка
ah = const, = 2Ahakt p* (A = 1, 2)
показывает, что применение метода Пуанкаре обязательно приведет к
появлению смешанных секулярных членов, обусловленных дифференцированием
по а\ или а2 в производящей функции метода (функция обязательно содержит
члены вида (2.6.1))').
В действительности вопрос решается проще, по крайней мерь в формальном
смысле. В самом деле, пусть функция Гамильтона содержит переменные х, у
только в виде комбинаций х\-\-у\ и xj-1-+ У2- т- е-
н = н(х1 + у1 4 + d).
В этом случае в силу уравнений движения
получаем, что
х^ yj - c'j = const,
') Отметим, что указанное автором появление секулярных членов обусловлено
не существом задачи, а неудачной заменой переменных цк, !&->-a.k. Если
ввести каноническую унпвалентную замену по формулам ___
% = УЩг sin Pft • h = V2ak cos Pft '
то секулярные члены не появятся, и решение может быть записано в виде
формальных рядов при некоторых дополшпельных ограничениях ил линейные
члены (прим. перев.).
6. НОРМАЛИЗАЦИЯ БИРКГОФА
81
и, следовательно,
х,• = Cj cos -f- Oj), J/j =. Cj sin ((Ojt -f- as),
где
" m to, = - 2 -7-5-------= const,
''И У?)
a Cj, Gj - произвольные постоянные. Ситуация здесь аналогична случаю,
рассмотренному в книге Уиттекера [ЮЗ], хюгда гамильтониан является только
функцией переменных со3- =. х,уj, а 61,-тогда - постоянные. Разумеется,
такая ситуация будет иметь место и для случая любых других комбинаций
координат и импульсов. Такие рассмотрения приводят нас к естественному
вопросу: возможно ли привести весь гамильтониан к такому виду, когда он
зависит только от комбинаций х\ + у\ и х2-}~ у\, если Но имеет вид
#0 = ^ 2 (х% + V'i) ¦
Ответ на этот вопрос будет утвердительным в том смысле, что по крайней
мере формально такую редукцию в общем случае можно произвести рядами,
состоящими из зависящих от всех переменных полиномов, хотя вопрос о
сходимости этих рядов как таковых никогда не исследовался. Тем не менее,
эквивалентность упомянутого здесь преобразования проблеме нормализации
Биркгофа очевидна.
Пусть теперь главная часть Н0 функции Гамильтона будет функцией только
выражений х\-\-у\ш х\-\- у\, а члены высших порядков в функции Гамильтона
