Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 23

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 109 >> Следующая

этого следует, что в D ни одна из частот не равна нулю или, более точно,
все импульсы присутствуют в гамильтониане. Теперь задача сводится к
такой, при которой функция Н (у,х, 0) не зависит от у и, следовательно,
главная функция Гамильтона W(y, X, 0) является производящей функцией
тождественного преобразования, т. е.
IV (у, X, 0) = утХ.
Мы будем предполагать, что функция W является аналитической
по е при 8 = 0, и, следовательно, при достаточно малых е можно
считать
W (у, X, г) = у*Х + eS (у, X, е), (2.4.10)
где
S (У 1 X, г) - I?! (у, X) eS2 (у, X) -)- ... (2.4.11)
- сходящийся степенной ряд по е.
70
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Отсюда следует, что (2.4.9) можно записать в виде
8S дХи
Y h = у и + 8 ~ Уь (У ¦ X, s),
k
xh - + 8 + 8Gft (У, X, e)
(2.4.12)
при к =. 1, ..га и достаточно малом 8. Отображения типа
(2.4.12) широко изучались главным образом в работах Мозера [75, 77, 78,
83].
При сделанных предположениях можно показать, что существуют формальные
ряды (2.4.11), являющиеся решением уравнения (2.4.8) до любого порядка
(степени) по 8.
Введем понятие среднего значения (/) условно-периодпче-ской функции
/(г/i, ..., уп) переменных yh = akt + yl (coft -постоянные величины,
линейно независимые на множестве целых чисел) с помощью выражения
т
</> = lim 1 f fdt. (2.4.13)
о
В обобщенном смысле условно-периодическая функция / при (/) =. 0 будет
называться чисто условно-периодической. Очевидно, что если / представить
в виде ряда Фурье по п угловым переменных г/i, .. ., уп, то (/) будет
равно постоянному члену в
ряде Фурье. С другой стороны, в общем случае, если (/) = 0, то
т
lim \fdt<^oо, (2.4.14)
о
что является очевидным следствием определения (2.4.13) для условпо-
периодической функции /, принадлежащей классу Ь2 и ?<=/?. Функция F(t),
удовлетворяющая условию
limF(*)<oo, (2.4.15)
00
называется функцией, свободной от секулярных членов. Любая условно-
периодическая функция из класса удовлетворяет этому условию. Из
предположения об интегрируемости системы с функцией Гамильтона Но
следует, что записанный через переменпые действие - угол у, х,
гамильтониан Н (у, х, е) является условнопериодической функцией, если,
например, он имеет сходящиеся многомерные ряды Фурье относительно у\,
..., уп при 8&[0, 1] и x,y<=D.
4. МЕТОД ПУАНКАРЕ
71
Формальные ряды для S и К теперь получаются прямой подстановкой (2.4.10)'
и (2.4.11) в (2.4.8), т. е.
Разложение первого из этих выражений в ряд Тейлора (который по
предположению сходится) дает в символической записи
где запись dlIJdXi означает dHh/dxl jx=x-
Выражения до любого порядка приближений впервые были получены в работе
Джакальи [36]. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, в
любом порядке приближения получаем уравнения типа
Вообще, Фр (у, X) является функцией от Si, ..Sp-U К\, ... ..., Kp-i, так
что решения уравнений (2.4.17) можно получать только последовательно.
Один из способов получения Кр (X) заключается в использовании процедуры
усреднения
К (X, е) = К0 (X) + 8 кг (X) + г2К2 {Х) + ...
... +е*Н,(у,Х)+ ..., (2.4.16)
В этих уравнениях, например,
Ф, (*,,*) = 0,
п п
п 71
V <Э2#о dSi dSi , V дНг dS! ?i dxuaxi дУп dyi + S дХъ дУъ
Кр (X) - <Фр (у, X) -j- Нр (у, X)),
(2.4.18)
72
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
где предполагается, что все ук представляются линейными функциями времени
ук = со^ + у\, а все со? линейно независимы на множестве целых чисел (т.
е. рационально независимы). Получающаяся функция КР{Х), разумеется, от
времени t не зависит. Отсюда следует, что функция
Fp = Фр + Яр - Кр = Fp (у, X) (2.4.19)
является чисто условно-периодической при учете предположений относительно
функции Н(у,х,г). Приближение p-то порядка для производящей функции Sp
получается из линейного уравнения
" Я с
2co^+Fp(y,X) = 0,
h=1
где Oft = dH0/dXk. Теперь становится очевидным, что если все О, то
функция SP будет условно-периодической функцией переменных у 1, . . ., Уп
(iJk- причем свободной от секу-
лярных членов, т. е. для линейно независимых на множестве целых чисел соь
имеем
П
Sp(y,X)^~2~\ Fp (У- Х) &Уъ + Gv (*)• (2-4.20)
*=1 ш* J
где функция Gp (X) произвольна. Разумеется, если одна из частот CDfe
равна нулю, то эту процедуру использовать нельзя, по крайней мере до тех
пор, пока для функции Fp (у, X) не будет выполнено условие
9F г,
gjj = 0 (2.4.21)
для этого yh. Легко показать, что
lim Sp (у, X) < оо (2.4.22)
f-*oo
для yh = со\t + Ук- Все эти соотношения справедливы для любого порядка р
и, следовательно, можно определить формальные ряды
у ¦ X -j- E<Si + е2<?2 + - • ¦,
Ко -f- еК\ -f- е2Къ + ...,
такие, что функция еSi -f- e2S2 + ... будет условно-периодической и
свободной от секулярных членов. Случаи, когда некоторая частота Oft равна
нулю или мала в некотором смысле, будут изуче-
5. БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
73
ны в главе V в связи с общей проблемой резонанса. Формально система
решается в любом желаемом приближении, и "решение" в новых переменных (Y,
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed