Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
являются функциями переменных х, у. которые входят, скажем, только в
комбинациях
рот п WiWiUy U2,
где
и>1=Х1Х2 + У1У2, W2 = Xiy2-X2yi,
ui - xj + у\, и2 = х% + у\-
Такой случай, например, встречается в небесной механике при исследовании
в переменных Пуанкаре (см., например, [12]). В общем случае можно
считать, что члены высших порядков в Н являются однородными полиномами
увеличивающихся степеней относительно х\, уи х2, у2. Исключение всех
членов (кроме комбинации из т, и2) в Н1 можно осуществить с помощью
производящей функции
S = х{уг Х2У2 + S1 -j- S2 .. .,
6 г. Б. 0. Джакалья
82
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
так что приходим к уравнению
нЛХ\у)Лдё~а = н\{х',у)ЛдУё^
t~\ dyh dxh ?*1 3xk dyk
где штрихом отмечены новые переменные и новый гамильтониан. Далее, так
как Но =.AiUi + А2и2, то функция Н\ определяется той частью функции Н\,
которая содержит только комбинации из щ и и2; обозначим эту часть через
Ни. Оставшаяся часть, обозначаемая как Hip, будет служить для определения
Si. Так как Но (х', у) = Н0 (х', у), то отсюда следует, что
где в Нip любой член, в который входит щ и (или) и2, в качестве множителя
содержит члены, зависящие от w 1 или w2. Далее, учитывая вид Но, имеем
дН" 0 дН" 0
^ = 2а^' ~ду7 = агУ^
где
Следовательно, уравнение для Si принимает вид
2 2"* (хЩ-у^) = ~н1р(х',у)-
С другой стороны, из рассмотрения выражений для wk и ик (к = 1, 2)
следует, что
' dSi dSr ' dSj - dSj *1 тег - Уг - Wi -'t ,
аУх dxt dwl dw2
- dSi dSl - dSj ' dSi
x2~ - y2 T-r- = Wl-r - u>2-------------T,
ду 2 3x2 dw2 dwx
Где
w[ = X[X2 + УгУ2, W2 = x\y2 - Х2уг.
Уравнение для Si становится таким:
6. НОРМАЛИЗАЦИЯ БИРКГОФА
83
где зависимость от Ui, и2 исчезает и не будет больше встречаться в
дальнейших выкладках (до тех пор, пока не возникнет вопрос о зависимости
только от величин uj, U2). Решение этого последнего уравнения можно
получить введением вспомогательных, переменных интегрирования
zt = (w[)2 - {w2)2, z2 = (w'i)2 + (w2)2.
Произведя эти замены, мы находим
1 Г (r)1Р <*!,*!) , ф
^ - 4К- о*') J (4 _ z|)i/2 dZ1
где Ф1 - произвольная функция za, iti, u2. Этот метод нельзя применить,
если ai = а2, т. е.
дН0 дН0 диг дщ
Очевидно, это есть случай внутреннего резонанса в линейном приближении,
который является исключительным. Аналогичные выкладки и общие
рассуждения справедливы для приближения лю-
бого порядка. Гамильтониан, по крайней мере формально, приводится к виду
Я' = Яо + Н\ + ... = Н' {ии и2),
так что
и\ = (я!)2 ~г (г/i)2 = const, и2 = (х2)2 + (г/2)2 = const.
Связь между переменными со штрихами и переменными без штрихов получается
из соотношений
у ___ ./ __ _dSj _
Ук Ук . / . / •••ч
0хк 0хк
• , dSi , dS" ,
Проведенные выше рассмотрения устанавливают тесную связь между проблемой
Пуанкаре и нормализацией Биркгофа [6, 98]. В действительности эти задачи
эквивалентны по их целям, и такая эквивалентность в некоторых специальных
прикладных вопросах была недавно показана в работах Депри [28-31].
Хорошо известно, что в общем случае ряды, вводимые при нормализации
Биркгофа, расходятся, хотя и существуют некото-6*
84
ГЛ. II МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
рые исключения. Новые результаты, касающиеся таких проблем, крайне
редки1), н теоремы Колмогорова и Мозера можно применить только из-за
нелинейности уравнений, соответствующих функции Н0.
Следующим важным понятием, введенным Уиттекером [103]. является понятие
дополнительных интегралов. Определение этих величин и их представление в
виде рядов, которое получил Уиттекер, недавно было использовано в работе
Контопулоса [20], где, между прочим, показано, что такие интегралы, до
сих пор считавшиеся формальным результатом, на практике остаются
постоянными в течение очень большого интервала времени, а именно,
настолько долго, насколько ЭВМ 'ает возможность проводит!, интегрирование
с разумной достоверностью в точности результата. Отсюда следует вопрос:
можно ли для консервативной системы найти другой интеграл, кроме
интеграла энергии? Очевидно, существуют системы, для которых это
справедливо. Действительно, по определению интегрируемая система с п
степенями свободы имеет п таких интегралов. Хотя хорошо известный
результат Пуанкаре указывает, что динамическая система иеинтегрируема,
это касается только существования однозначного (относительно некоторого
параметра) интеграла. Зигель [96] также показал, что в окрестности особой
точки не существует дифференцируемых интегралов. Тем не менее, могут
существовать интегралы для отдельных значений параметров, появляющихся в
уравнениях, для отдельных значений начальных условий или, в
исключительных случаях, например, даже непрерывные интегралы. В конце
этого параграфа мы приведем пример такого исключительного случая.
Пусть функция F (у, х, t) будет дифференцируемым в области D интегралом
консервативной системы, определяемой гамильтонианом Щу, х); пусть он,
кроме того, принадлежит классу С2 в некоторой области D 2и-мерного
