Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Яд --------- -Г" -[- X
'Г г
мер, [91])!).
Н -¦, Но {х\, . . ?р) "1" ?Н\ {Х\, .. хп, i/i, ..уп) • •
•)
т. е.
• __ Ш_ Ук
к
= - е
') Более подробное изложение этого приема уничтожения кажущегося
вырождения ем. в книге [4*] (прим. перев.).
76
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Отсюда следует, что в нулевом приближении переменные xh - константы, а ук
- линейные функции времени (к =, 1, ..р) или также константы (к = р 1, .
. ., п). Если этот результат подставить в уравнения движения и усреднить
их по уi, . . ., ур, то в первом приближении получим
lJh = (Х) t "Ь Ук' xh ~
где
+ (к = 1............р).
сой = ecOfe (к = р -J- 1..п).
Эго простое описание служит основанием к тому, чтобы назвать угловые
переменные уi, ..ур (которые являются сопряженными к импульсам xj, . ..,
хр, входящим в #о) быстрыми, а угловые переменные уР+1, ..уп (которые
являются сопряженными к импульсам, отсутствующим в гамильтониане #0) -
медленными переменными. Вследствие этого также говорят, что любая фз
нкция, содержащая хотя бы одну быструю переменную, является
короткопериодической, а любая функция, не содержащая ни одной быстрой
переменной - долгопериодической функцией. Разумеется, мы не хотим здесь
дать точных определений, а только приводим традиционное объяснепне
терминологии.
Для этого случая теперь рассмотрим проблему существования формальных
рядов, представляющих производящую функцию метода Пуанкаре. Вообще
говоря, ответ на вопрос о существовании является отрицательным, за
исключением только некоторых исключительных ситуаций, которые мы и
обсудим в настоящем параграфе.
Исключение быстрых переменных достигается таким обобщением проблемы
Гамильтона, при котором мы требуем, чтобы новый гамильтониан содержал
только медленные переменные. Более точно, мы строим производящую функцню
в виде формального ряда
W(y.X,B)~y*X+BS1{y,X)- ...,
аналогичного (2.4.10), (2.4.11) и (2.4.12), п требуем выполнения закона
сохранения энергии в виде
H{jf,x,e) = K{Yp+i,...,Yn.X.B), (2.5.3)
так что исходная система сводится к системе с числом степеней свободы,
равным п - р. Это всегда возможно, так как при определении т-го
приближения уравненне, которое надо
5. БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
77
проинтегрировать, имеет вид
2 С0& ТьГ5 + (У> -^) + (У' X) - Кт (Ур+1- • • • ¦>
Ут X. г),
fc=i
a jfiTm определяется усреднением функции Fm + #m по быстрым переменным.
Новый гамильтониан получается в виде формального ряда. Если допустить,
что такие ряды являются сходящимися (по крайней мере на конечном
интервале времени), то теперь задача сводится к исследованию уравнений
движения, соответствующих гамильтониану
в то время как постоянные импульсы Xi, . . ., Хр играют роль параметров.
В случае сходящихся рядов выражения
= (2.5.5)
при к - 1, . .., р представляют собой первые интегралы исходной системы,
зависящие от р параметров Х\, .. ., Хр, для которых могут быть взяты
произвольные значения.
Теперь при выполнении простых условий можно исключить медленные
переменные. Действительно, в (2.5.4) функция К0 (X) зависит только от Xi,
. . ., Хр и, следовательно, является константой движения. Гамильтониан
теперь может быть записан в виде
где q = (У/,+ь • -Yn), р -= (Xp+b .... XJ, а параметры Х\,
..., можно дальше не рассматривать. Уравнения движения имеют простой вид
(k = 1, . . ., п-р)
Если п - р =, 1, то система имеет одну степень свободы и задача
теоретически разрешима. Если п - р > 2, то, очевидно, интегрирование
можно осуществить методом последовательных приближений, который уже был
изложен, при условии, что главная часть функции eF, т. е. функция ?-
F1(q,p), соответствует интегрируемой системе. Начиная с этого места,
можно повторить всю процедуру Пуанкаре, описанную в предыдущем параграфе.
По-видимому, будет полезно сказать, что формально задачу можно решить до
конца, если функция F^ (q, р) не зависит ни от одной пере-
eF = eFx (q. р)+ e2F2 {q, />)-...= sF {q, p. e), (2.5.6)
dF
8 t;--------
dq
(2.5.7)
78
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
менной^и содержит все переменные р, т. е. переменные Xp+i, ...
. .Хп. Существенным достижением Цейпеля [105] в решении рассматриваемой
задачи явилось понимание того факта, что хотя полная редукция системы
может быть невозможна, тем не менее частичная редукция является
существенным шагом вперед в решении задачи.
Оценки ошибок метода были получены в работе Кинера [63], а в случае
сходимости в работе Мозера [81] была использована процедура ускорения
сходимости, основанная на применении итераций ньютоновского типа. Впервые
аналогичная процедура была предложена Колмогоровым [59], а затем она
широко использовалась в различных работах Арнольда [3, 4]. В следующей
главе
об этом будет сказано более подробпо. Очевидно, что в некоторых
случаях оценка ошибки О (г2), полученная Кинером, может быть значительно
улучшена. Например, при доказательстве Мозером [78] сходимости
закручивающих отображений может быть получена сходимость лучше, чем
