Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, ограничение, заключающееся в предположении о
гамильтоновости исходной системы уравнений, весьма несущественно и,
следовательно, особую важность приобретают методы теории возмущений для
гамильтоновых систем1).
С точки зрения предыдущих рассмотрений логичным является вопрос о
получении оценки лучшей, чем оценка (2.2.15). Гамильтониан
рассматриваемой системы (2.2.13) имеет вид
Н = 2 ytgi (х, t) + е 2 Vifi О", е, t) = #0 + гНъ (2.4.3)
1=1 i=l
и соответствующая каноническая система уравнений записывается так:
дН . ,
xi Si + E/ii
дН V °s) dfi
У1 ~ dx. ~ -2d дх. е2*У' дх.'
1 i 1 l 1
Предположим, что при е = О система
• * dg {
xt = Si (*> *), Vi = - z Vi ^ (2.4.5)
j *
интегрируема. Действительно, первая группа уравнений (2.4.5) интегрируема
по введенному ранее предположению и имеет решение xt = Подстановка этих
выражений во вторую часть
уравнений приводит к системе линейных уравнений
Vi = '%ац
1
которая, очевидно, интегрируема при t из интервала определения решения
xgj(t). Запишем решение системы (2.4.5) в виде
Xi = Xio(a, р, t), yt= у{0{а, р, t),
') Это утверждение автора нуждается в пояснении. При исследовании
конкретных систем небольшого числа дифференциальных уравнений методами
теории возмущений предлагаемую гамильтонизацию по-видимому проводить
нерационально. Этот прием обретает смысл или при исследовании систем
высокого порядка или при получении большого числа приближений. В этих
случаях действительно оказывается проще оперировать с одной функцией
(гамильтониан), пусть и зависящей от вдвое большего" числа переменных,
чем с п функциями правых частей уравнений. Особенно эффективна
гамильтонизация системы нелинейных дифференциальных уравнений при
использовании современных ЭВМ, снабженных развитыми комплексами программ
буквенных выкладок (прим. пере а.).
5*
68
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
где при г = 1, ..п
ж<о(а, р, 0)= а{, ум (а, Р, 0) =
Из теоремы Якоби следует, что решение системы (2.4.4) может быть записано
в виде
х{ = xi0(a, Р, t), iji = г/,-о (а, Р, t),
если а, р - функции времени, удовлетворяющие уравнениям
дНл а дНу ,0 , д.
Р* = -еЙГ' (2-4-6)
гг г
где i = 1, ..., ?г. Но система (2.4.6) является системой изученного ранее
типа (уравнение (2.2.6)), и к ней применйм метод последовательных
приближений, дающий такой критерий сходимости
I Е I ^ 1 + 4гаЛ/'Г'
который при М' ~ М является лучшей оценкой, чем оценка
(2.2.15) для системы (2.2.13).
Теперь вернемся к главной цели настоящего параграфа и опишем основные
идеи и основные этапы осуществления метода Линдстедта, изложенного
Пуанкаре на языке канонических систем. Рассмотрим автономную динамическую
систему с гамильтонианом
Н = Н(у,х, е), (2.4.7)
где у, х - 2п-мернь1е векторы, определенные в фазовом пространстве
размерности 2п, е - безразмерный постоянный параметр, а функция Н -
вещественная и аналитическая в некоторой области D фазового пространства
и е из [0, 1]. Мы еще раз подчеркнем тот факт, что любая
аналитическая система уравнений
z - f (z, е) может быть сведена к гамильтоновой форме введени-
ем котангенциального фазового пространства.
Главная функция Гамильтона W (у,Х,в) определяется решением уравнения в
частных производных
ч[у,д?,^ = К(Х,г), (2.4.8)
где К (X, е) - гамильтониан системы, записанной через новые переменные F,
X, которые определяются уравнениями
(у>= {у'Е)- (2А9)
4. МЕТОД ПУАНКАРЕ
69
При выполнении вышеперечисленных условий относительно функции Н функция
W, удовлетворяющая уравнению (2.4.8), безусловно существует (в смысле
Якоби), так как система дифференциальных уравнений, соответствующая
функции Гамильтона
(2.4.7), имеет единственное решение в D. Решение очевидно будет
аналитической функцией ей п постоянных интегрирования Хи • • м Хп из D.
Мы предположим, что система дифференциальных уравнений, соответствующих
функции Н (у, х, 0) = Н0 (у, х), интегрируема в смысле Лиувилля, т. е. в
D существует п независимых первых общих интегралов движения. Если Zj,
..., хп- такие интегралы, т. е. хк (у, х) = ак вдоль решений системы с
гамильтонианом (2.4.7) при 8 = 0 и в области D, то, вообще говоря,
угловые переменные уи, канонически сопряженные переменным действие хк,
имеют частоты (по времени), которые являются линейно независимыми на
множестве целых чисел, п, следовательно, движение будет условно-
периодическим (почтп-пе-риодическое движение будет в случае,
соответствующем системе с бесконечным набором базисных частот). Через эти
переменные, называемые переменными действие - угол, гамильтониан (2.4.7)
можно записать в виде IV(у', х', в) с очевидным условием Н' (у', х', 0) =
Hq (х'). Следовательно, при предположении об интегрируемости (в
упомянутом специальном смысле) системы с гамильтонианом Н0(у,х), не теряя
общности, можно считать, что гамильтониан зависит только от импульсов х.
Также логично ожидать, что почти во всей области D частоты = дН0/дхк
являются линейно независимыми на множестве целых чисел. В частности, из
