Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
малых е (но ненулевых) при Г-*-оо.
Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений
xt = gt(x, t) + г, t) (i = 1,--------------n). (2.2.13)
Заменяя величины щ в описанном выше методе на решения x,o(t) системы
(2.2.13) при е = 0 и определяя
li = Xt - Х,0,
аналогичным образом можно найти, что коэффициенты ^ удовлетворяют
дифференциальным уравнениям вида
& = 2 + Ff ($>, *), (2.2.14)
;=1
где i = 1, ..., Щ 1=1, п; к = 1, - 1; р = 1, 2. Г\ ...
Весьма замечательным свойством этих уравнений является то, что, как и
раньше, функции Ф;-г) не зависят от номера р, т. е. решения однородных
уравнений, соответствующих (2.2.14), одинаковы при всех р. Они являются
явными функциями времени и величин xto(t), которые зависят от набора п
постоянных интегрирования. Что касается постоянных интегрирования для
(2.2.14), то их можно выбрать так, чтобы |(Р) = 0 при t = 0, или,
используя терминологию небесной механики, в этом случае решения и хл
будут оскулирующими. Существуют другие способы выбора постоянных
интегрирования, но они потребуют некоторых дополнительных модификаций,
обусловленных тем, что в них разложения ведутся не в окрестности точки |{
= 0 (при ?'='0).
Классический метод приближений Пикара позволяет показать, что решение
системы уравнений
It = 2 Фи (<) Ь т k,(t) (i - 1, • • • • к)
3 = 1
3 СЕКУЛЯРНЫЕ ЧЛЕНЫ СПОСОБ ЛИНДСТЕДТА
61
мажорируется в интервале [О, Г] решением системы
П
Th = м 2 417 + м (i = 1, ..., п),
j=i
где М - верхняя оценка функций ф,,(t) и kx(t) в интервале [О, Г]. Затем
так же, как это было сделано выше, можно показать. использовав
мажорирующие функции, определяемые решением уравнений
' = if е + тцт ••¦+т|я
Т1г 1 1 - (6-1]!+ ... -г]п) '
что ряды для являются сходящимися в интерва ie [О, Т] при
|е| < ехр(- МпТ), (2.2.15)
где М - верхняя оценка коэффициентов уравнений (2.2.13), если представить
в виде рядов по е. Полученная оценка в этом случае является более
строгой, поэтому Т может быть больше, чем в предыдущем случае. Эти случаи
подробно разобраны в работе Мультона [86]. Однако, как мы увидим ниже,
оценка
(2.2.15) может и не быть в этом случае наилучшей.
3. Секулярные члены. Способ Линдстедта
В классической ситуации описанные выше методы приводят к появлению
секулярных членов, т. е. в рядах, описывающих решение (или в ?рг)),
содержатся члены, линейные (по крайней мере) по t. Если такого явления
можно избежать и, более того, если можно сделать функции ?Рг) (t)
ограниченными при всех t (скажем, условно-периодическими или просто
периодическими), то скорость сходимости может быть улучшена, и в
некоторых специальных случаях (как будет видно в следующей главе) для
всех t будет иметь место действительная сходимость при достаточно малых
е.
Сейчас мы применим описанный в предыдущем параграфе метод к уравнению
простого маятника и убедимся в появлении секулярных членов, а также
опишем способ Линдстедта в приложении к этому частному случаю.
Для простоты предположим, что начальные условия соответствуют
колебательному случаю в движении маятника, т. е. колебаниям конечной
амплитуды около устойчивого положения равновесия. Уравнение движения
можно записать следующим образом:
0 = - "и sin 0.
(2.3.1)
62
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
где (c)о = g/l1). Рассмотрим сходящееся разложение sin0 в ряд по 0 и введем
новую переменную по формуле 0= Уех, так что уравнение (2.3.1) принимает
вид
••о о сп<*"2я-М Л
х + со0^ = 2 ( ^)П(2л + 1)!"* (2.3.2)
При е = 0 (бесконечно малые колебания) решение этого уравнения можно
записать так:
x0(t) = A sin(<B0it + а). (2.3.3)'
Рассмотрим ряды
оо
1 = Х - Жп=|2
ТП- 1
это означает, что решение в окрестности опорного решеппя x0(t) ищется в
виде
оо
x=x0(t)+ 2 e"*gm(*). (2.3.4)
7П= 1
Согласно только что описанному методу надо подставить ряд '(2.3.4) вместо
х в (2.3.2) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях е. Первые
несколько приближений определяются уравнениями
"Ь (r)o5i = 'зу(r)0;г'01
V I 2р 1 2 2т- 12 5
Ь2 соо5г - ~2\ (r)0ж0ё1-------j]- (r)0Жо,
I + шо1з = "2Г(r)о (жо?г + x$l) - -^у- coq^oSi ~Ь -^-<*>5^0) (2.3.5)
Ё4 + (r)0^4 ^JT^O (З4?3 + 6Ж0^^2 + gl) -
- (жо?г + 2o:oSi) + "gj- ---------др^о^о-
Исследуем решение для §ь соответствующее начальным условиям
], == gj = 0 при t - 0. Без потери общности будем считать Оо = 1. Этого
всегда можно добиться соответствующим выбором
') Здесь g - ускорение свободного падения, I - длина нити маятника (прим.
перев.).
3. СЕКУЛЯРНЫЕ ЧЛЕНЫ. СПОСОБ ЛИНДСТЕДТА
63
единицы времени. Как известно, частное решение уравнения
z + z = a sin р (t + а)
имеет вид
г -¦= fzrp sin р (t -f- а) при р ф 1,
2 =------ at cos (t сс) при р = 1.
Решение уравнения
z + z = a cos p(t + а)
имеет вид
z = jrz-p соь р (t 4- и) при рф1,
\
z = - at sin (t -f а) при р = 1.
Отсюда легко получить, что
= В sin (t -f Р)-----A3t sin (t -f a) + ^ A3 sin 3 (t -1- a), (2.3.6)
где В, [S определяются формулами
лг ^43 ^43
В sin р = - sin 3a, В cos P = - cos 3a -f -^r sin a.
