Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
wk0 = 1 ft; 0) - 2 D {l q) \ bi, \д) (kb ig | Hint ] ft; о>, (34.26)
*1, ч
где
<fti; lq\Hmi\k-, 0) = - id У;
(34.27а)
D(k, q)^D(0, q) = h*q(q + Q)/2m*. (34.28)
<v*o> = <?*o ZbtA Ym).
<*+<№¦ (34.29)
Я
я
правилу
я/а
...q2dq, v - a3, а -постоянная решетки.
Тогда, учитывая равенство
а
§ 34] ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ 229
находим окончательное выражение*) (при 2k<!<2)
<v*o> =
/т*о'\* v \ л J McJi3
In ( 1
\
Л
Qa
aQ
л
(34.30)
Для численной оценки среднего числа виртуальных фононов, сопровождающих
медленный электрон, положим
г л
= 5-10эрг, т* = 10~28г,
М=5 .
V см?
aQ
= 100.
Тогда получим (v)?"0,04, что указывает на слабую связь медленных
электронов с продольными акустическими фононами и оправдывает
использование первого порядка теории возмущений. Таким образом, учет
взаимодействия электронов с фононами кристалла не изменяет зонного
характера спектра электронов и ведет к небольшому смещению границ зон и
изменению эффективной массы электрона [117, 118] (см. § 34.2).
Каждое слагаемое в сумме (34.29) определяется произведением матричных
элементов
<0; k\Hint\k-q', 1?><19; k - q\Hini\k\ 0>,
чему соответствует график Фейнмана на рис. 42, согласно которому электрон
в точке а испускает фонон и поглощает его в точке б.
Итак, медленное движение электрона в зоне проводимости ковалентных
кристаллов сопровождается перемещением локальной деформации кристалла,
которая на языке теории возмущений описывается как процесс испускания и
последующего поглощения электроном виртуальных фононов, изображенный
графически на рис. 42. Такое наглядное описание отражает только метод
вычисления, но не отражает
реального процесса испускания и поглощения фононов, так как для
образования реальных фононов с энергией hQq медленный электрон не имеет
достаточной энергии.
34.2. Перенормировка спектра медленных электронов и испускание фононов.
Рассмотренное в предыдущем параграфе взаимодействие электронов с фононами
приводит к изменению их закона
Рис. 42, Диаграмма Фейнмана испускания и поглощения виртуальных фононов
электроном.
*) Если при вычислении (34.29) использовать не приближенное выражение
(34.28), а (34.27), то получим при 2k < Q
<v*o) =
m*0 ',2 v 2 л ) МсЛ3
(Q-2k)lnn + Q+2k) 4k*
Q In--------------------f + 2/HnV aj
л
(Q+2A) -HQ-2A
Q2 - 4?2
230
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
дисперсии. При малых энергиях электрона это измене-
ние сводится только к смещению полосы энергий Е (k) по отношению к ее
положению без учета взаимодействия с фононами и к увеличению эффективной
массы электрона. При этом состояние кристалла с определенной энергией и
волновым вектором является сложной комбинацией одноэлектронного состояния
с виртуальными фононами (деформацией решетки). Иногда такое состояние
называют состоянием "одетого электрона". В энергии этого состояния
содержится и энергия деформации решетки, а сохраняющийся волновой вектор
является суперпозицией волнового вектора электрона и волновых векторов
виртуальных фононов. Волновой вектор каждого "голого" электрона не
является интегралом движения.
Для иллюстрации вышесказанного достаточно вычислить энергию "одетого"
электрона во втором приближении теории возмущений. Если учесть, что
согласно (34.18) оператор Hint связывает состояние \k; 0) только с
состояниями | k - q\ 19), то энергия электрона во втором порядке теории
возмущений примет вид
где Q = 2m*cjfi, ц -косинус угла между векторами k и q, и переходя от
суммы по q к интегралу по правилу
(34.31)
я
я
где D(k, q) определено выражением (34.27). Используя (34.27а) и
разложение
D (А
Я -10
преобразуем (34.31) к виду
где
где
В
Таким образом, вследствие электрон-фононного взаимодействия дно зоны
проводимости понижается на величину (34.33), а эффек-
ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ
231
тивная масса электрона увеличивается:
т* -> т*!(\ - 2m*B/h2). - (34.35)
Полученный результат справедлив только в области дна зоны проводимости.
При всех значениях ft, удовлетворяющих неравенству "
\к\^Ш (34.36)
формула (34.35) неприменима даже при слабой связи электронов с фононами,
так как величина D (к, q) при некоторых значениях q обращается в нуль.
Неприменимость теории возмущений
(34.26) для описания процессов взаимодействия электрона с фононами при
выполнении неравенства (34.36) обусловлена вырождением состояний нулевого
приближения, которое связано с возможностью испускания и поглощения
электроном реальных фононов. В самом деле, состояния [Л; 0) и |k - q; 1?)
имеют одинаковую энергию при всех значениях q, при которых D(k, q) = 0.
Если в начальный момент времени задано состояние | ft; 0), то через
некоторое время система перейдет в состояние | ft -<7; 1?), т. е.
электрон излучит фонон \ч с энергией Q?.-Если -в начальный момент задано
состояние системы: один электрон и vq фононов с волновой функцией |ft;
vq), то возможно как испускание, так и поглощение фо'нонов электроном.
